Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 10. Телескоп с гравитационни лещи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 20 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Според Общата теория на относителността на Айнщайн светлината се отклонява от праволинейното си разпространение, когато преминава в близост до масивни обекти. За простота, приемаме, че светлината се отклонява под някакъв ъгъл в някаква точка, както е показано на фигурата.

Ъгълът на отклонение $\theta_{\mathrm{b}}$ , се задава със следния израз:

\theta_{\mathrm{b}} = \frac{2R_{\mathrm{sch}}}{r}

където $R_{\mathrm{sch}}$ е радиусът на Шварцшилд на обекта, покрай който светлинният лъч преминава. Ще наричаме „прицелен параметър“ разстоянието между правата по която лъчът светлина се движи преди да взаимодейства с обекта и ос Ох, която е успоредна на тази права и преминава през центъра му.

Схема на отклонението на светлинен лъч: хоризонтален лъч със стрелка минава на разстояние r над оста x (означена x-axis) покрай сив кръг (масивното тяло) и след точката над центъра на тялото се отклонява надолу под ъгъл θb спрямо пунктираното продължение на първоначалната посока.

Можем да заключим, че едно масивно тяло има поведението на фокусираща леща. Светлинните лъчи, които идват от безкрайно разстояние и имащи еднакъв прицелен параметър r, се пресичат в една точка, която се намира на оста Ox, на разстояние $f_r$ от центъра на обекта. Ако в тази точка се намира наблюдател, то той може да наблюдава източникът на светлината с голямо увеличение, поради гравитационното ѝ фокусиране. Поради това, можем да кажем, че масивното тяло играе ролята на телескоп с гравитационна леща и усилва далечни сигнали.

(T10.1) Нека да разгледаме възможността нашето Слънце да бъде използвано като гравитационна леща. Пресметнете най-малкото разстояние, $f_{\mathrm{min}}$ , от центъра на Слънцето (в AU) на което светлинните лъчи биха могли да се фокусират. [6 т.]

(T10.2) Нека да разгледаме малък и кръгъл детектор, с радиус a, който се намира на разстояние $f_{\mathrm{min}}$ от Слънцето. Приемаме, че оста Ох е перпендикулярна на детектора и го пресича в неговия център. Забележете, че само лъчи, които преминават през някакъв много тънък пръстен, с дебелина $h$ (където $h \ll R_{\odot}$ ), около Слънцето, след като преминат покрай него се отклоняват и могат да се регистрират от детектора. Факторът на увеличение (увеличението на интензитета) върху детектора се дефинира като отношението на интензитета на светлината, който пада върху детектора при наличието на Слънцето и при неговото отсъствие.

Изразете фактора на увеличение (увеличението на интензитета) $A_{\mathrm{m}}$ , върху детектора, като функция на $R_{\odot}$ и $a$ . [8 т.]

(T10.3) Нека да разгледаме сферичен обем от вещество, през който светлината може да преминава, така както това е възможно през облак от тъмна материя. За простота, приемаме, че за гравитационното отклонение на лъч светлина с прицелен параметър r е от значение само масата, която е затворена в сфера с радиус r - $M(r)$ , и център, съвпадащ с центъра на облака.

Какво трябва да е разпределението на масата $M(r)$ , така че този облак да играе ролята на идеална, оптична, изпъкнала леща? [6 т.]

Решение

T10.1

Solution:

The rays travelling closer to the gravitational body will bend more. Thus, we get shortest convergence point where the rays just grazing the solar surface will meet each other.

Solar-limb ray and the minimum focus distance.

\theta_{\mathrm{b}} = \frac{2R_{\mathrm{sch}}}{R_{\odot}} \simeq \frac{R_{\odot}}{f_{\min}}

[2.0]

\therefore\ f_{\min} = \frac{R_{\odot}^2}{2R_{\mathrm{sch}}} = \frac{R_{\odot}^2 c^2}{4GM_{\odot}}

[2.0]

= \frac{(6.955 \times 10^8 \times 2.998 \times 10^8)^2}{4 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}\ \mathrm{m}

= 8.188 \times 10^{13}\ \mathrm{m} = \frac{8.188 \times 10^{13}}{1.496 \times 10^{11}}\ \mathrm{AU}

\boxed{f_{\min} = 547.3\ \mathrm{AU}}

[2.0]

T10.2

Solution:

The following figure needs to be drawn. [1.0]

Annular rays meet a detector of radius a, with distances f_min and f_2.

The light bending from the surface of the Sun ( $r = R_{\odot}$ ) will intersect the detector at its centre, as it is kept at $f_{\min}$ .

The boundary of the detector will be intersected by a light ray with $r = R_{\odot} + h$ . This ray will intersect the $x$ -axis at a distance $f_2$ .

f_2 = \frac{(R_{\odot} + h)^2}{2R_{\mathrm{sch}}}

[2.0]

Same argument as in Part 1

For small angles,

a = (f_2 - f_{\min})\theta_2

= \left[\frac{(R_{\odot} + h)^2}{2R_{\mathrm{sch}}} - \frac{R_{\odot}^2}{2R_{\mathrm{sch}}}\right]\frac{2R_{\mathrm{sch}}}{(R_{\odot} + h)} = \frac{2R_{\odot}h + h^2}{R_{\odot} + h}

\simeq 2h

[2.0]

Let original intensity of the incoming radiation be $I_0$ .

The flux at the detector in the presence of Sun is $\Phi_{\odot} = I_0\ 2\pi\ R_{\odot}\ h$ [1.0]

The flux at the detector in the absence of Sun is $\Phi_0 = I_0\ \pi\ a^2$ [1.0]

The amplification is therefore

A_{\mathrm{m}} = \frac{\Phi_{\odot}}{\Phi_0} = \frac{I_0 2\pi R_{\odot} h}{I_0 \pi a^2} = \boxed{\frac{R_{\odot}}{a}}

[1.0]

T10.3

Solution:

Two impact parameters focus at the same point through a transparent spherical mass distribution.

All rays should focus at the same spot. This should be evident from figure drawn on answersheet or otherwise. [2.0]

Let there be two rays with impact parameters $r_1$ and $r_2$ . The corresponding distances of focus will be

f_i = \frac{r_i^2}{2r_{\mathrm{sch}_i}} = \frac{r_i^2 c^2}{4GM(r_i)}

[2.0]

Same argument as in Part 1

The requirement $f_1 = f_2$ implies

\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{M(r_1)}{M(r_2)}

[1.0]

The required mass distribution is: $\boxed{M(r) \propto r^2}$ [1.0]

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf