Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 11. Гравитационни вълни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 50 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

За първи път гравитационни вълни бяха регистрирани от двата детектора на гравитационната обсерватория LIGO, които се намират в градовете Ханфорд и Ливингстън, САЩ, през Септември 2015г. Резултатите от едно от тези наблюдения (отклонение от равновесното положение, като функция на времето, в секунди) са показани на приложената фигура. В тази задача, ние ще интерпретираме тези резултати, разглеждайки тяло с много малка маса m (пробно тяло), движещо се по орбита около обект със съществено по-голяма маса M (т.е., $m \ll M$ ). Ще разгледаме различни модели, предполагащи различна природа на масивното тяло.

Графика на сигнала GW150914 по данни на LIGO Louisiana: вертикална ос h (× 10^21) от −1 до 1, хоризонтална ос t (s) с деления 0.3, 0.35, 0.4, 0.45; осцилираща крива с нарастваща амплитуда и честота до максимума, отбелязан със стрелка „Epoch of Merger“ около t ≈ 0.42 s; надписи „GW150914 as observed from LIGO Louisiana“ и „Data Source: LIGO Open Science Centre“.

Пробното тяло (имащо маса m) губи от своята механична енергия, поради това, че излъчва гравитационни вълни. В резултат от това, неговата орбита намалява своя радиус и това продължава докато то достигне повърхността на централното тяло, или в случая на черна дупка радиуса на най-близката стабилна орбита (ISCO). Този радиус се задава с израза by $R_{\mathrm{ISCO}} = 3R_{\mathrm{sch}}$ , където $R_{\mathrm{sch}}$ е радиусът на Шварцшилд на черната дупка. Това се нарича “epoch of merger". Тогава амплитудата на излъчваните гравитационни вълни е максимална, също както и честотата им. Тази честота във всеки един момент е двойно по-голяма от честотата с която малкият обект се движи по своята орбита. В тази задача, ние ще разгледаме подробно само излъчването на гравитационните вълни, излъчени преди сливането (“epoch of merger"), предполагайки, че законите на Кеплер са в сила. След момента на сливане, формата на гравитационните вълни се променя драстично.

(T11.1) Нека да разгледаме резултатите от наблюденията на гравитационни вълни, показани на фигурата по-горе. Оценете орбиталния период $T_0$ , в момента на сливането “epoch of merger", а след това оценете и честотата, $f_0$ , на тези вълни, точно преди момента на сливането. [3 т.]

(T11.2) За всяка една звезда от Главната последователност, радиусът $R_{\mathrm{MS}}$ и масата $M_{\mathrm{MS}}$ са свързани със степенен закон, както е показано в таблицата:

\begin{array}{lll} R_{\mathrm{MS}} & \propto & (M_{\mathrm{MS}})^{\alpha} \\ \mathrm{where}\ \alpha & = & 0.8 \qquad \mathrm{for}\ M_{\odot} < M_{\mathrm{MS}} \\ & = & 1.0 \qquad \mathrm{for}\ 0.08M_{\odot} \le M_{\mathrm{MS}} \le M_{\odot} \end{array}

Ако централният обект е звезда от Главната последователност, запишете израз за максималната възможна честота на гравитационните вълни, $f_{\mathrm{MS}}$ , като функция на масата на звездата (в единици слънчеви маси) $(M_{\mathrm{MS}}/M_{\odot})$ и $\alpha$ . [10 т.]

(T11.3) Използвайки резултата, получен в предното подусловие, определете подходящата стойност за $\alpha$ за която се постига максималната възможна честота на гравитационните вълни $f_{\mathrm{MS,max}}$ за звезда от Главната последователност. Оценете тази честота. [9 т.]

(T11.4) Максималната възможна маса на едно бяло джудже е $1.44\ M_{\odot}$ (известна като граница на Чандрасекар). Съотношението между масата и радиуса на белите джуджета се задава с връзката $R \propto M^{-1/3}$ . Радиусът на бяло джудже с маса равна на масата на Слънцето е равен на 6 000 km. Намерете максималната възможна честота $f_{\mathrm{WD,max}}$ , на излъчваните гравитационни вълни, ако тялото с маса m, обикаля около бяло джудже. [8 т.]

(T11.5) Неутронните звезди са особени, компактни обекти, чиито маси са в диапазона между $1\ \mathrm{and}\ 3M_{\odot}$ , а радиусите им са в интервала $10 - 15\ \mathrm{km}$ . Намерете в какъв диапазон (от $f_{\mathrm{NS,min}}$ до $f_{\mathrm{NS,max}}$ ) може да се намира честотата на излъчваните гравитационни вълни, ако тялото с маса m, пада към неутронна звезда. [8 т.]

(T11.6) Ако пробното тяло (с маса m) обикаля около черна дупка, то запишете израз за честотата $f_{\mathrm{BH}}$ на излъчваните от него гравитационни вълни, като функция на масата на черната дупка $M_{\mathrm{BH}}$ , и масата на Слънцето $M_{\odot}$ . [7 т.]

(T11.7) Използвайки САМО периода (или честотата) на гравитационните вълни преди момента на сливане, определете дали централният обект може да бъде: звезда от Главната последователност (MS), бяло джудже (WD), неутронна звезда (NS) или черна дупка (BH). Отбележете Вашия избор бланката за отговори (Summary Answersheet). Оценете масата на обекта $M_{\mathrm{obj}}$ в единици слънчеви маси $M_{\odot}$ . [5 т.]

Решение

T11.1

Solution:

From the graph, just before the peak of emission, the time period of gravitational waves is approximately $(0.007 \pm 0.004)\ \mathrm{s}$ .

T_0 \approx 0.007\ \mathrm{s}

[2.0]

Acceptable range: 0.003 to 0.011 s

That is, the frequency of the gravitational waves is $f_0 \approx 142.86\ \mathrm{Hz}$ . [1.0]

Acceptable range: 333.33 to 90.91 Hz

Answer given in terms of angular frequency with correct value and units gains full credit.

T11.2

Solution:

Since $m \ll M$ then, by Kepler's third law

f_{\mathrm{orbital}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{GM}{r^3}}

[4.0]

Hence the frequency of the gravitational waves is

f_{\mathrm{grav}} = 2f_{\mathrm{orbital}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM}{r^3}}

[1.0]

The frequency will be maximum when $r = R_{\mathrm{MS}}$ . [1.0]

For main sequence stars,

\frac{R_{\mathrm{MS}}}{R_{\odot}} = \left(\frac{M_{\mathrm{MS}}}{M_{\odot}}\right)^{\alpha}

\therefore\ R_{\mathrm{MS}} = R_{\odot}\left(\frac{M_{\mathrm{MS}}}{M_{\odot}}\right)^{\alpha}

[1.0]

\therefore\ f_{\mathrm{MS}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{MS}}}{R_{\odot}^3}}\left(\frac{M_{\odot}}{M_{\mathrm{MS}}}\right)^{3\alpha/2}

= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{\odot}^3}}\left(\frac{M_{\odot}}{M_{\mathrm{MS}}}\right)^{(3\alpha-1)/2}

f_{\mathrm{MS}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{\odot}^3}}\left(\frac{M_{\mathrm{MS}}}{M_{\odot}}\right)^{(1-3\alpha)/2}

[3.0]

T11.3

Solution:

For possible values of $\alpha$ given in the question, the exponent $\frac{1-3\alpha}{2}$ is negative. Thus, if $M_{\mathrm{MS}} > M_{\odot}$ , the frequency will be smaller. Thus, for highest possible frequency coming from a main sequence star, you should take lowest possible mass i.e. $\alpha = 1.0$ [4.0]

f_{\mathrm{MS,max}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{\odot}^3}}\left(\frac{M_{\mathrm{MS}}}{M_{\odot}}\right)^{\left(\frac{1-3\times 1}{2}\right)}

= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{\odot}^3}} \times \frac{M_{\odot}}{M_{\mathrm{MS}}}

[2.0]

The frequency of gravitational waves will be given by,

f_{\mathrm{MS,max}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{(6.955 \times 10^8)^3}} \times \frac{1}{0.08}

f_{\mathrm{MS,max}} = 2.5\ \mathrm{mHz}

[3.0]

Answer given in terms of angular frequency with correct value and units gains full credit.

T11.4

Solution:

The maximum frequency would be when $r = R_{\mathrm{WD}}$ . [1.0]

We use the notation $R_{WD_{\odot}}$ for the radius of a solar mass white dwarf. Then for white dwarfs

R_{WD}^3 = R_{WD_{\odot}}^3\,\frac{M_{WD}}{M_{\odot}}

[1.0]

f_{\mathrm{WD}} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{WD}}}{R_{WD}^3}}

= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{WD_{\odot}}^3}}\,\frac{M_{WD}}{M_{\odot}}

[2.0]

For maximum frequency, we have to take highest white dwarf mass. [2.0]

f_{\mathrm{WD,max}} = 2.600 \times 10^{-6} \times \sqrt{\frac{1.989 \times 10^{30}}{(6000 \times 10^3)^3}} \times 1.44

= 2.600 \times 10^{-6} \times 95.96 \times 10^3 \times 1.44

f_{\mathrm{WD,max}} = 0.359\ \mathrm{Hz}

[2.0]

Answer given in terms of angular frequency with correct value and units gains full credit.

T11.5

Solution:

f_{grav} = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{NS}}}{R_{\mathrm{NS}}^3}}

The lowest possible frequency is when $M_{\mathrm{NS}}$ is lowest and $R_{\mathrm{NS}}$ is the highest. [2.0]

For $M_{\mathrm{NS}} = M_{\odot}$ and $R = 15\ \mathrm{km}$ , we get

f_{\mathrm{NS,min}} = 1.996\ \mathrm{kHz}

[2.0]

Similarly, the largest possible frequency is when $M_{\mathrm{NS}}$ is the largest and $R_{\mathrm{NS}}$ is the smallest. [2.0]

For $M_{\mathrm{NS}} = 3M_{\odot}$ and $R = 10\ \mathrm{km}$ , we get

f_{\mathrm{NS,max}} = 6.352\ \mathrm{kHz}

[2.0]

Answer given in terms of angular frequency with correct value and units gains full credit.

T11.6

Solution:

For black holes, we have to consider $R_{ISCO}$ . [2.0]

Hence the equation will be,

f_{BH} = \frac{1}{\pi} \times \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{27R_{sch-\odot}^3}} \times \frac{M_{\odot}}{M_{BH}}

[2.0]

f_{BH} = 4.396\ \mathrm{kHz} \times \frac{M_{\odot}}{M_{BH}}

[3.0]

Answer given in terms of angular frequency with correct value and units gains full credit.

T11.7

Solution:

We found the frequency of the LIGO-detected wave to be 166.67 Hz just before merger. As per our analysis above, only black holes can lead to emission in this frequency range.

Black Hole [2.0]

By using corresponding expression,

M_{\mathrm{obj}} = \frac{4396}{142.86}\,M_{\odot} \approx 31\,M_{\odot}

[3.0]

Any answer between 13 to 50 will get full credit.

The key restates the GW150914 strain graph, with axes and source attribution.

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf