IOAA 2016, Теория, български — Задача 12. Екзопланети

Метод на лъчевите скорости.

Когато звезда и планета се движат по орбитите си около общия център на масите, звездата също се движи леко около него. В резултат на това движение светлината на звездата претърпява промяна поради ефекта на Доплер, като тази промяна зависи от скоростта на движение на звездата по орбитата.

Кривата на лъчевата скорост $v_l$ на звездата, която може да бъде определена от промяната на Доплеревото отместване на спектрална линия с известна дължина на вълната, като функция на времето $t$ е показана на диаграмата по-долу. На диаграмата са означени двете величини, които могат да бъдат определени от нея - орбиталният период $P$ и амплитудата на лъчевата скорост $v_0$.

(T12.1) Изразете радиуса на орбитата $(a)$ и скоростта на движение по орбитата $(v_{\mathrm{p}})$ на планетата, като функция на $M_{\mathrm{s}}$ и $P$. [3 т.]

(T12.2) Определете долната граница на масата на планетата $M_{\mathrm{p,min}}$, като функция на $M_{\mathrm{s}}$, $v_0$ и $v_{\mathrm{p}}$. [4 т.]

Метод на транзитите

Когато една планета се движи по орбита около звезда и лъчът на зрение е почти в орбиталната равнина ( $i \approx 90^{\circ}$ ), тя периодично преминава пред диска на звездата. Това се нарича “транзит” на планетата по диска на звездата. Това довежда до леко отслабване на потока светлина който се наблюдава на Земята. На схемата по долу (която НЕ Е начертана в точен мащаб) е показано как ще изглежда кривата на блясъка на транзита на планетата от гледна точка на наблюдателя (за нормиран поток $f$, като функция на времето $t$), за звезден диск с равномерно разпределение на яркостта.

Ако наклонът на орбитата $i$ е точно 90°, то планета ще пресече диска на звездата точно по неговия диаметър. За стойности на $i$ леко различаващи се от 90° транзитът ще се осъществява по хорда, чиито център лежи на разстояние $bR_{\mathrm{s}}$ от центъра на диска на звездата, както е показано на схемата. Потокът от звездата извън транзита е нормиран към 1(единица) и максималната дълбочина на минимума, по време на транзита, е означена с $\Delta$.

Четирите важни точки, при транзит на планета, са точките на първи, втори, трети и четвърти контакт, означени с позиции от 1 до 4 на фигурата горе. Интервалът от време между втори и трети контакт е означен с $t_{\mathrm{F}}$, когато дискът на планетата лежи изцяло върху диска на звездата. Интервалът от време между първи и четвърти контакт е означен с $t_{\mathrm{T}}$.

Същите точки са означени и на схематичната диаграма долу, показваща изглед отстрани към орбитата на планетата около звездата (Относителните мащаби НЕ СА спазени).

Величините, които могат да се определят от наблюдения на транзити са $P$, $t_{\mathrm{T}}$, $t_{\mathrm{F}}$ и $\Delta$.

(T12.3) Намерете максималната стойност на $i$ изразена чрез $R_{\mathrm{s}}$ и $a$ за да може транзитът да бъде наблюдаван от наблюдател отдалечен на много голямо разстояние. [2 т.]

(T12.4) Изразете $\Delta$ чрез $R_{\mathrm{s}}$ и $R_{\mathrm{p}}$. [1 т.]

(T12.5) Изразете $t_{\mathrm{T}}$ и $t_{\mathrm{F}}$ като функции на $R_{\mathrm{s}}$, $R_{\mathrm{p}}$, $a$, $P$ and $b$. [8 т.]

(T12.6) В приближени, в което радиусът на орбитата е много по-голям от радиуса на звездата, покажете, че параметърът $b$ се представя от израза:

[5 т.]

(T12.7) Използвайте резултата от часто (T12.6) за да получите отношението $a/R_{\mathrm{s}}$ изразено чрез величини, които могат да бъдат измерени от кривата на блясъка на транзита, използвайки подходящи приближения. [3 т.]

(12.8) Използвайте резултатите от двата метода, на лъчевите скорости и на транзитите, за да определите средната плътност на звездата $\rho_{\mathrm{s}} \equiv \frac{M_{\mathrm{s}}}{4\pi R_{\mathrm{s}}^3/3}$, изразена чрез $t_{\mathrm{T}}$, $t_{\mathrm{F}}$, $\Delta$ и $P$. [6 т.]

Скалиста или газова планета:

Нека да приемем, че при наблюдение от Земята, лъчът на зрение лежи в равнината на орбитата $(i = 90^{\circ})$ и орбитата на планетата е кръгова. Известно е, че звездата има маса равна на масата на Слънцето – $1.00M_{\odot}$. Наблюдаван е транзит с период $(P)$ равен на $50.0$ денонощия и пълна продължителност на транзита $(t_{\mathrm{T}})$ равна на $1.00$ час. Дълбочината на минимума на транзита $(\Delta)$ е $0.0064$. Същата система е наблюдавана по метода на лъчевите скорости и е измерена максимална лъчева скорост на звездата равна на $0.400\ \mathrm{ms^{-1}}$.

(T12.9) Намерете радиуса на орбитата на планетата $a$ изразена в AU и в метри. [2 т.]

(T12.10) Намерете отношението $t_{\mathrm{F}}/t_{\mathrm{T}}$ при наблюдаваната система. [2 т.]

(T12.11) Определете масата $M_{\mathrm{p}}$ и радиуса $R_{\mathrm{p}}$ на планетата, изразена чрез масата $(M_{\oplus})$ и радиуса $(R_{\oplus})$ на Земята. Определете дали съставът на планетата я определя като скална или газова? Отбележете ROCKY или GASEOUS в Бланката за решения и отговори (Summary Answersheet.) [8 т.]

Transit light curves with starspots and limb darkening:

(T12.12) Приемете, че наклонът на орбитата е $i = 90^{\circ}$ и на повърхността на звездата има петно сравнимо по размери с планетата, $R_{\mathrm{p}}$. Периодът на въртене на звездата около оста ѝ е $2P$. Начертайте схематично как ще изглеждат графиките на пет последователно наблюдавани транзита на планетата ( върху разграфените полета в Бланката за решения и отговори (Summary Answersheet)). За всеки отделен случай, потокът светлина, извън зоната на транзита, се нормира към единица независимо от останалите четири наблюдения. Приемете, че планетата не покрива петното при първия транзит, но го покрива при втория. [4 т.]

(T12.13) По време на решаване на задачата приехме, че разпределението на яркостта по диска на звездата е равномерно. Обаче, при реалните дискове на звездите се наблюдава потъмнение към края на диск. Начертайте схематично как ще изглежда кривата на блясъка на транзита при наличие на потъмнение към края на диска на звездата. [2 т.]