Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 9. Мисията Mars Orbiter

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 20 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Индийската космическа мисия Mars Orbiter Mission (MOM) е изстреляна с помощта на ракетата носител Polar Satellite Launch Vehicle (PSLV) на 5 Ноември 2013г. Сумарната маса (корпус+инструменти) е била 500 kg, а първоначално масата на горивото в него била 852 kg. Първоначално сондата се е движила около Земята по елиптична орбита, като в перигей тя се е намирала на височина 264.1 km над земната повърхност, а в апогей на височина 23903.6 km, над повърхността на Земята. След като сондата е направила шест обиколки по орбитата си, MOM е преминал на транс-Марсианска орбита (Хофманова орбита).

Първият тласък е бил придаден на сондата, чрез включване на двигателите за време $41.6\ \mathrm{s}$ в момент, когато тя е била близо до перигея на своята орбита. Тогава на нея е придаден допълнителен импулс $1.73 \times 10^5\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ . Пренебрегваме промяната в масата на сондата, поради изгарянето на горивото.

(T9.1) На каква височина над повърхността на Земята, $h_{\mathrm{a}}$ , се намира точката на апогей на новата орбита по която сондата започва да се движи? [14 т.]

(T9.2) Намерете ексцентрицитета ( $e$ ) на новата орбита и орбиталния период ( $P$ ) на MOM в часове. [6 т.]

Решение

T9.1

What is the height of the new apogee, $h_{\mathrm{a}}$ , above the surface of the Earth, after this engine burn?
Solution:

Let apogee and perigee distances be $r_{\mathrm{a}}$ and $r_{\mathrm{p}}$ respectively.

r_{\mathrm{p}} = R_{\oplus} + h_{\mathrm{p}}^{i} = (6371 + 264)\ \mathrm{km} = 6635\ \mathrm{km}

[1.0]

r_{\mathrm{a}} = R_{\oplus} + h_{\mathrm{a}}^{i} = (6371 + 23904)\ \mathrm{km} = 30275\ \mathrm{km}

[1.0]

Conservation of energy and angular momentum gives

E = -\frac{GmM_{\oplus}}{r_{\mathrm{p}} + r_{\mathrm{a}}}

Total energy at perigee

\frac{1}{2}m{v_{\mathrm{p}}}^2 - \frac{GmM_{\oplus}}{r_{\mathrm{p}}} = E = -\frac{GmM_{\oplus}}{r_{\mathrm{p}} + r_{\mathrm{a}}}

\frac{1}{2}{v_{\mathrm{p}}}^2 = \frac{GM_{\oplus}}{r_{\mathrm{p}}}\left(1 - \frac{r_{\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{p}} + r_{\mathrm{a}}}\right)

\therefore\ v_{\mathrm{p}} = \sqrt{2\frac{GM_{\oplus}}{r_{\mathrm{a}} + r_{\mathrm{p}}}\frac{r_{\mathrm{a}}}{r_{\mathrm{p}}}}

[2.0]

= \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 3.0275 \times 10^7}{6.635 \times 10^6 \times (3.0275 + 6.635 \times 10^6)}}

= 9.929\ \mathrm{km\ s^{-1}}

[1.0]

As the engine burn is just 41.6 s, we assume that the entire impulse is applied instantaneously at perigee. The impulse is $J = 1.73 \times 10^5\ \mathrm{kg\ m\ s^{-1}}$ . Note that the total mass of MOM must include the fuel, so we have to use $m = 500 + 852 = 1352\ \mathrm{kg}$ . [1.0]

Change in velocity due to impulse at perigee is

\Delta v = \frac{J}{m} = \frac{1.73 \times 10^5}{1352} = 128.0\ \mathrm{m\ s^{-1}}

[1.0]

The new velocity will be given by (we use $'$ symbol to denote quantities after the first orbit-raising maneuvre)

v_{\mathrm{p}}' = v_{\mathrm{p}} + \Delta v = 10.06\ \mathrm{km\ s^{-1}}

[1.0]

The perigee remains unchanged. So we get $r_{\mathrm{p}}' = r_{\mathrm{p}}$ . [1.0]

Since the satellite is moving faster, the new apogee will be higher.

v_{\mathrm{p}}' = \sqrt{2GM_{\oplus}\frac{r_{\mathrm{a}}'}{r_{\mathrm{p}}'(r_{\mathrm{a}}' + r_{\mathrm{p}}')}}

\therefore\ 1 + \frac{r_{\mathrm{p}}'}{r_{\mathrm{a}}'} = \frac{2GM_{\oplus}}{(v_{\mathrm{p}}')^2 \times r_{\mathrm{p}}'}

[2.0]

= \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(10.06 \times 10^3)^2 \times 6.635 \times 10^6} = 1.188

r_{\mathrm{a}}' = \frac{6635}{0.188} = 35\,380\ \mathrm{km}

[2.0]

h_{\mathrm{a}} = 35380 - 6371 = \boxed{29\,009\ \mathrm{km}}

[1.0]

Acceptable range: ±150 km

T9.2

Find eccentricity ( $e$ ) of the new orbit after the burn and new orbital period ( $P$ ) of MOM in hours.
Solution:

As seen above,

\frac{r_{\mathrm{p}}'}{r_{\mathrm{a}}'} = 0.188 = \frac{1 - e}{1 + e}

[1.0]

\therefore\ e = \frac{1 - 0.188}{1 + 0.188} = \boxed{0.683}

[1.0]

Acceptable range: ±0.002

The new orbital semi-major axis and orbital period will be,

a' = \frac{r_{\mathrm{a}}' + r_{\mathrm{p}}'}{2}

[1.0]

= \frac{35380 + 6635}{2} = 20\,933\ \mathrm{km}

[1.0]

P = 2\pi\sqrt{\frac{a'^3}{GM_{\oplus}}}

[1.0]

= 2\pi\sqrt{\frac{(2.0933 \times 10^7)^3}{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}} = \boxed{30\,136\ \mathrm{s} = 8.37\ \mathrm{h}}

[1.0]

Acceptable range: ±0.1 h

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf