Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 8. Фотометрия в U-филтър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 20 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Една звезда има видима звездна величина $m_{\mathrm{U}} = 15.0$ при наблюдение във филтър U. Приемаме, че този филтър е идеален, което означава, че той е напълно прозрачен (100% прозрачност) в някакъв спектрален диапазон и напълно непрозрачен извън него (0% прозрачност). Средата на диапазона в който филтърът пропуска светлина е $360\ \mathrm{nm}$ , а пълната ширина на този диапазон е $80\ \mathrm{nm}$ . Приемаме, също така, че звездата излъчва една и съща енергия на всички честоти (има плосък спектър). Връзката между звездната величина, m, във всеки един филтър, и спектралната плътност на потока, f, на една звездна в Янски $(1\ \mathrm{Jy} = 1 \times 10^{-26}\ \mathrm{W\,Hz^{-1}\,m^{-2}})$ е следната:

f = 3631 \times 10^{-0.4m}\ \mathrm{Jy}

(T8.1) Пресметнете приблизително колко фотона, $N_0$ , падат всяка секунда от тази звезда, върху площ $1\ \mathrm{m^2}$ , ориентирана перпендикулярно на лъчите и намираща се извън атмосферата на Земята, при наблюдение във филтър U. [8 т.]

Тази звезда се наблюдава, във филтър U, с наземен телескоп, чиито диаметър на главното огледало е 2.0 m. Поглъщането на атмосферата в този филтър, по време на наблюдението, е 50%. Приемаме, че атмосферните условия са идеални. Измерено е, че средната повърхностна яркост на нощното небе във филтър U е $22.0\ \mathrm{mag/arcsec^2}$

(T8.2) Какво е отношението, R, на броят фотоните, които се получават от звездата, към тези, които са получени от нощното небе, ако се използва кръгла апертура с ъглов диаметър 2“. [8 т.]

(T8.3) На практика, при наблюдение във филтър U, само 20% от фотоните попаднали върху главното огледало се детектират. Каква е бройката на фотоните, $N_{\mathrm{t}}$ , идващи от звездата, регистрирани за 1 секунда? [4 т.]

Решение

T8.1

Approximately how many $U$ -band photons, $N_0$ , from this star will be incident normally on a $1\ \mathrm{m^2}$ area at the top of the Earth's atmosphere every second? [8]

Solution:
The $U$ -band is defined as $(360 \pm 40)\ \mathrm{nm}$ . Thus, the maximum, minimum and average frequencies of the band will be,

\nu_{\max} = \frac{c}{\lambda_{\max}} = 9.369 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}

\nu_{\min} = 7.495 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}

\nu_{\mathrm{avg}} = 8.432 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}

\Delta\nu = \nu_{\max} - \nu_{\min}

= 1.874 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz} \quad \textbf{[2.0]}

f_{\mathrm{st1}} = 3631 \times 10^{-0.4 \times 15}

= 3.631\ \mathrm{mJy} = 3.631 \times 10^{-29}\ \mathrm{W\ Hz^{-1}\ m^{-2}} \quad \textbf{[2.0]}

Now, $N_0 \times h\nu_{\mathrm{avg}} = \Delta\nu \times f_{\mathrm{st1}} \times A \times \Delta t$ [2.0]

where, $A = 1\ \mathrm{m^2}$ & $\Delta t = 1\ \mathrm{s}$

\therefore\ N_0 = \frac{1.874 \times 10^{14} \times 3.631 \times 10^{-29}}{6.626 \times 10^{-34} \times 8.432 \times 10^{14}}

\simeq \boxed{12180} \quad \textbf{[2.0]}

Exact calculation including integration is accepted with full credit (exact answer: 12190).
Accepted range: $12180 \pm 200$ .
Using flat spectrum for $\Delta\lambda$ instead of $\Delta\nu$ is considered a major conceptual error, and will incur penalty of 2.0 marks.

T8.2

What is the ratio, $R$ , of number of photons received per second from the star to that received from the sky, when measured over a circular aperture of diameter $2''$ ? [8]

Solution:
Let us call sky flux per square arcsec as $\Phi$ and total sky flux for the given aperture as $\phi_{\mathrm{sky}}$ . Let total star flux be $\phi_{st}$ .

\phi_{\mathrm{sky}} = A\Phi = \pi \times (1\ \mathrm{arcsec})^2 \times \Phi = \pi\Phi \quad \textbf{[3.0]}

\therefore\ m_{\mathrm{sky}} = 22.0 + 2.5\log_{10}\left(\frac{\Phi}{\phi_{\mathrm{sky}}}\right) \quad \textbf{[1.0]}

= 22.0 + 2.5\log_{10}\left(\frac{\Phi}{\pi\Phi}\right)

= 22.0 - 2.5\log_{10}(\pi)

m_{\mathrm{sky}} = 20.76\ \mathrm{mag} \quad \textbf{[1.0]}

As extinction is 50% [1.0]

R = \frac{\phi_{\mathrm{st2}}}{\phi_{\mathrm{sky}}} = \frac{0.5\phi_{\mathrm{st1}}}{\phi_{\mathrm{sky}}} = 0.5 \times 10^{(20.76-15)/2.5}

\simeq \boxed{100} \quad \textbf{[2.0]}

Accepted range: $\pm 5$ .
A student may also calculate number of photons incident per second per metre square in this case and then compare it with the answer in the first case to get the correct ratio.

T8.3

In practice, only 20% of $U$ -band photons falling on the primary mirror are detected. How many photons, $N_{\mathrm{t}}$ , from the star are detected per second? [4]

Solution:

N_{\mathrm{t}} \times 1\ \mathrm{m^2} = N_0 \times 0.5 \times 0.2 \times A_{\mathrm{t}} \quad \textbf{[2.0]}

N_{\mathrm{t}} = 12180 \times 0.5 \times 0.2 \times \pi\left(\frac{2.0}{2}\right)^2 = 1233\pi \quad \textbf{[1.0]}

N_{\mathrm{t}} \simeq \boxed{3813} \quad \textbf{[1.0]}

Accepted range $(3813 \pm 50)$ .

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf