Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 7. Телескоп

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 20 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Един телескоп-рефрактор има светосила $f/5$ , фокусно разстояние на обектива 100 cm и фокусно разстояние на използвания окуляр 1 cm.

(T7.1) Какво е ъгловото увеличение $m_0$ на телескопа? Каква е дължината $L_0$ на тръбата на телескопа, т.е. разстоянието от обектива до окуляра? [4 т.]

Един начин по който ъгловото увеличение на телескопа може да нарастне, без дължината на телескопа да нарастне значително, е като се постави вдлъбната леща (леща на Барлоу) между обектива и фокалната равнина. Една леща на Барлоу, с фокусно разстояние 1 cm, се поставя в телескопа, като целта е неговото увеличение да нарастне два пъти.

(T7.2) На какво разстояние $d_{\mathrm{B}}$ , от главния фокус трябва да бъде поставена лещата, за да се получи желаното удвояване на ъгловото увеличение? [6 т.]

(T7.3) Какво ще бъде удължението, $\Delta L$ , на тръбата на телескопа? [4 т.]

В главния фокус на един телескоп, който има същия обектив се поставя CCD камера (лещата на Барлоу и окулярът са премахнати). Размерът на един пиксел в тази CCD камера е $10\ \mu\mathrm{m}$ .

(T7.4) Какво е разстоянието $n_{\mathrm{p}}$ , в пиксели, между центровете на изображенията на двете звезди, ако те са на ъглово отстояние 20“ на небето?

Решение

T7.1

What is the angular magnification, $m_0$ , of the telescope? What is the length of the telescope, $L_0$ , i.e. the distance between its objective and eyepiece? [4]

Solution:
The magnification will be given by,

m_0 = \frac{f_o}{f_e} \quad \textbf{[1.0]}

= \frac{100}{1} = 100 \quad \textbf{[1.0]}

The magnification is $\boxed{m_0 = 100}$

Length of the telescope will be

L_0 = f_o + f_e \quad \textbf{[1.0]}

= 100 + 1 = 101\ \mathrm{cm} \quad \textbf{[1.0]}

The telescope length will be $\boxed{L_0 = 101\ \mathrm{cm}}$

Exact answer required for credit.

T7.2

At what distance, $d_{\mathrm{B}}$ , from the prime focus must the Barlow lens be kept in order to obtain this desired double magnification? [6]

Solution:
We use the following sign convention. Lens is the origin. Direction along the direction of light is taken as positive. The lens formula is $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{v} - \dfrac{1}{u}$ ( $f$ is positive for convex lens and negative for concave lens). Magnification is $m = \dfrac{v}{u}$ . Solutions using other sign conventions are acceptable.

Let $v$ be image distance from the Barlow lens.

\frac{1}{f_{\mathrm{B}}} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \quad \textbf{[1.0]}

Distance of Barlow lens, $d_{\mathrm{B}}$ , before the prime focus is same as the object distance, $u$ , in this case. [1.0]

\frac{1}{f_{\mathrm{B}}} = \frac{1}{v} - \frac{1}{d_B}

Also, $m_{\mathrm{B}} = 2 = \dfrac{v}{u} = \dfrac{v}{d_{\mathrm{B}}}$ [0.5]

\therefore\ \frac{1}{d_{\mathrm{B}}} = \frac{2}{v} \quad \textbf{[1.0]}

\therefore\ \frac{1}{-1} = \frac{1}{v} - \frac{2}{v}

-1 = \frac{-1}{v}

v = 1\ \mathrm{cm}

d_{\mathrm{B}} = \frac{v}{2} = \frac{1\ \mathrm{cm}}{2} = 0.5\ \mathrm{cm} \quad \textbf{[2.5]}

The positive sign for $d_{\mathrm{B}}$ indicates that the Barlow lens was introduced $\boxed{0.5\ \mathrm{cm}}$ before the prime focus.

T7.3

What is the increase, $\Delta L$ , in the length of the telescope? [4]

Solution:
The increase in the length will be,

\Delta L = v - d_{\mathrm{B}} \quad \textbf{[2.0]}

= 1.0 - 0.5 = 0.5\ \mathrm{cm} \quad \textbf{[2.0]}

Thus, the length will be increased by $\boxed{\Delta L = 0.5\ \mathrm{cm}}$

T7.4

What will be the distance in pixels between the centroids of the images of the two stars, $n_{\mathrm{p}}$ , on the CCD, if they are $20''$ apart on the sky? [6]

Solution:
Plate scale at prime focus is given by,

s = \frac{1}{f_o} = \frac{1\ \mathrm{rad}}{1\ \mathrm{m}} = 0.206\,265\ \mathrm{arcsec/\mu m} \quad \textbf{[2.0]}

Since each pixel is $10\ \mu\mathrm{m}$ in size,

s_{\mathrm{p}} = 10 \times 0.206\ \mathrm{arcsec/\mu m} = 2.06\ \mathrm{arcsec/pixel} \quad \textbf{[2.0]}

Two stars will be separated by,

n_{\mathrm{p}} = \frac{20''}{2.06''}\ \mathrm{pixels} \simeq \boxed{10\ \mathrm{pixels}} \quad \textbf{[2.0]}

Acceptable range: 9.5 to 10.5 pixels.

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf