Съдържание

Фундаментални константи Астрономически константи Условие Решение

IOAA 2016, Теория, български — Задача 6. Пулсации на цефеида

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Теоретичен тур · 20 т.

Инструкции

(1) Пълната продължителност на теоретичния тур е пет часа.

(2) Теоретичният тур се състои от:

Задачи	Точки всяка	Общо
от 1 до 5	10	10 × 5 = 50 точки
от 6 до 10	20	20 × 5 = 100 точки
от 11 и 12	50	50 × 2 = 100 точки

Общо = 250 точки

(3) Във Вашия плик Вие ще намерите

a. Текстовете на задачите, преведени на английски език

b. Текстовете на задачите, преведени на Вашия език

c. Таблица с константи на английски език

d. Taблица с константи на Вашия роден език

e. Бланка за отговори и решения за всяка задача (Summary answersheet)

f. Начална страница (Cover sheet)

(4) Моля, изплзвайите само син или черен химикал за писане. За чертане, можете да използвате молив.

(5) Няма да бъдат отнемани точки за невярно или липсващо решение на нито една от задачите.

(6) Ще бъдат отнемани точки, ако отговорът на някоя задача е посочен, без подробно решение.

(7) Ще се отнемат точки, ако крайният отговор е записан с неправилен брой цифри или ако лиспва мерна единица или тя е неправилна.

(8) Трябва да използвате стойностите на фундаменталните и астрономическите константи, които са включени в таблицата, която Ви е предоставена.

(9) Инструкции, касаещи бланката за отговори и решения

a.Вие ще разполагате с отделна бланка за отговори (Summary answersheet) за всяка една задача. Крайният отговор на всяка една задача трябва да записан в съотвеното поле в тази бланка. Моля, запишете Вашия състезателен код и броя страници, използвани за решението на всяка една задача, в заглавната страница.

b. От Вас се изисква да напишете подробно решение в предоставеното място. Ако е необходимо, можете да поискате допълнителни листи (blank answersheets).

c.Моля, пишете решението на всяка задача на отделен лист!

d. Напишете Вашия състезателен код, номера на задачата и номера на страницата на ПРЕДНАТА страна на всяка една страница за решения (blank answersheet). Напишете Вашия състезателен код и номер на страницата на ОБРАТНАТА страна на всяка страница за решения.

e.Номерата на страниците трябва да са последователни, т.е. ако Вие използвате 20 страници за целия тур (включително и бланките за отговори (Summary Answersheets)), номерата на страниците трябва да са от 1 до 20.

f. Моля, пишете само в очертаното поле!

g. Моля, зачертайте всичко, което сте написали, но не бихте искали да бъде оценявано.

(10) В края на тура:

a. Ясно запишете на началната страница (Cover sheet) номерата на странциите на които са написани решенията на всяка задача.

b. Проверете дали сте написали Вашия състезателен код на всички страници!

c. Поставете: началната страница, всички бланки за отговори и решения, празните листи и листите за чернова в плика. Можете да вземете със себе си текстовете на задачите и таблицата с константи.

Таблица с константи

Фундаментални константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Константа на Болцман	$k_B = 1.381\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$
Заряд на електрона	$e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$
Гравитационна константа	$G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.315\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_A = 6.022\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Закон на Вин за отместване на максимума на излъчване	$\lambda_m T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$
Маса на електрона	$m_e = 9.109\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маса на протона	$m_p = 1.673\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маса на неутрона	$m_n = 1.675\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Атомна единица за маса (a.m.u.)	$1.661\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$

Астрономически константи

1 парсек (pc)	$3.086\times10^{16}\ \mathrm{m}$
1 астрономическа единица (AU)	$a_\oplus = 1.496\times10^{11}\ \mathrm{m}$
Маса на Слънцето	$M_\odot = 1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 6.955\times10^8\ \mathrm{m}$
Светимост на Слънцето	$L_\odot = 3.826\times10^{26}\ \mathrm{W}$
Видима звездна величина на Слънцето в момент на местно пладне	$m_\odot = -26.72\ \mathrm{mag}$
Слънчева константа (за Земята)	$1366\ \mathrm{W\,m^{-2}}$
Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\theta_\odot = 30\prime$
Маса на Земята	$M_\oplus = 5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R_\oplus = 6.371\times10^6\ \mathrm{m}$
Тропична година	$365.242\ \text{solar days} = 3.156\times10^7\ \mathrm{s}$
Маса на Юпитер	$M_J = 1.898\times10^{27}\ \mathrm{kg}$
Радиус на орбитата на Юпитер	$R_J = 5.203\ \mathrm{AU}$

Условие

Звездата $\beta$ -Doradus е цефеида, като нейният период на пулсация е 9.84 дни. За простота, приемаме, че звездата е най-ярка, в момента в който тя е най-свита (тогава радиусът е $R_1$ ) и тя е най-слаба, когато е най-раздута (и има радиус $R_2$ ). Приемаме, също така, че по време на целия цикъл на пулсация, звездата запазва сферичната си форма и излъчването ѝ се описва със законите за излъчване на абсолютно черно тяло. Видимата болометрична звездна величина на звездата се променя от 3.46 $^{\mathrm{m}}$ до 4.08 $^{\mathrm{m}}$ . От спектрални наблюдения е известно, че средната скорост с която звездата се свива и раздува е 12.8 km/s. По време на пулсацията дължината на вълната на максимума на излъчване, измервана в отправна система, свързана с центъра на цефеидата, се променя от 531.0 nm до 649.1 nm.

(T6.1) Пресметнете отношението на радиусите на цефеидата, когато тя е максимално свита и максимално раздута $(R_1/R_2)$ . [7 т.]

(T6.2) Пресметнете радиуса на звездата (в метри) в състоянията, в които тя е максимално свита и максимално раздута $(R_1\ \mathrm{and}\ R_2)$ . [3 т.]

(T6.3) Пресметнете осветеността, $F_2$ , която се създава от звездата, която тя е най-раздута. [5 т.]

(T6.4) Пресметнете разстоянието до звездата $D_{\mathrm{star}}$ в парсеци. [5 т.]

Решение

T6.1

Find the ratio of radii of the star in its most contracted and most expanded states $(R_1/R_2)$ . [7]

Solution:
We first find flux ratio and then use Stefan's law to compare the fluxes.

m_1 - m_2 = -2.5\log\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \quad \textbf{[1.0]}

\therefore\ \frac{F_1}{F_2} = 10^{-0.4(m_1-m_2)} = 10^{-0.4(3.46-4.08)}

= 1.77 \quad \textbf{[1.0]}

L_i = 4\pi R_i^2 \sigma T_i^4 \quad \textbf{[1.0]}

\therefore\ F_1 = \frac{4\pi R_1^2 \sigma T_1^4}{4\pi D^2} \qquad F_2 = \frac{4\pi R_2^2 \sigma T_2^4}{4\pi D^2} \quad \textbf{[1.0]}

\frac{F_1}{F_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} \times \frac{T_1^4}{T_2^4}

\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{F_1}{F_2}} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2

From Wien's displacement law, $\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}$ . [1.0]

\therefore\ \frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{F_1}{F_2}} \times \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2 \quad \textbf{[1.0]}

= \sqrt{1.77} \times \left(\frac{531.0}{649.1}\right)^2

\boxed{\frac{R_1}{R_2} = 0.890} \quad \textbf{[1.0]}

Acceptable range: $\pm 0.010$ .

T6.2

Find the radii of the star (in metres) in its most contracted and most expanded states $(R_1$ and $R_2)$ . [3]

Solution:

R_2 - R_1 = v \times P/2 \quad \textbf{[2.0]}

R_2 - R_1 = 12.8 \times 10^3 \times 86\,400 \times \frac{9.84}{2}\ \mathrm{m}

(1 - 0.890)R_2 = 5.441 \times 10^9\ \mathrm{m}

\therefore\ \boxed{R_2 = 4.95 \times 10^{10}\ \mathrm{m}} \quad \textbf{[0.5]}

\boxed{R_1 = 4.41 \times 10^{10}\ \mathrm{m}} \quad \textbf{[0.5]}

Acceptable range: $\pm 0.02 \times 10^{10}\ \mathrm{m}$ for both.

T6.3

Calculate the flux of the star, $F_2$ , when it is in its most expanded state. [5]

Solution:
To get the absolute value of flux $(F_2)$ we must compare it with observed flux of the Sun.

m_2 - m_\odot = -2.5\log\left(\frac{F_2}{F_\odot}\right)

\therefore\ F_2 = F_\odot\, 10^{-0.4(m_2-m_\odot)} \quad \textbf{[3.0]}

= \frac{L_\odot}{4\pi a_\oplus^2} \times 10^{-0.4(4.08+26.72)}

= \frac{3.826 \times 10^{26} \times 4.7863 \times 10^{-13}}{4\pi (1.496 \times 10^{11})^2}\ \mathrm{W\ m^{-2}}

\boxed{F_2 = 6.51 \times 10^{-10}\ \mathrm{W\ m^{-2}}} \quad \textbf{[2.0]}

Acceptable range: $\pm 0.04 \times 10^{-10}\ \mathrm{W\ m^{-2}}$ .

T6.4

Find the distance to the star, $D_{\mathrm{star}}$ , in parsecs. [5]

Solution:

D_{\mathrm{star}} = \sqrt{\frac{L_2}{4\pi F_2}} = \sqrt{\frac{R_2^2 \sigma T_2^4}{F_2}} = R_2 T_2^2 \sqrt{\frac{\sigma}{F_2}} \quad \textbf{[2.0]}

Wien's law: $T_2 = \dfrac{2.898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\,K}}{\lambda_2}$ [1.0]

D_{\mathrm{star}} = 4.95 \times 10^{10} \times \left(\frac{2.898 \times 10^{-3}}{649.1 \times 10^{-9}}\right)^2 \sqrt{\frac{5.670 \times 10^{-8}}{6.51 \times 10^{-10}}}

\therefore\ \boxed{D_{\mathrm{star}} = 9.208 \times 10^{18}\ \mathrm{m} = 298\ \mathrm{pc}} \quad \textbf{[2.0]}

Acceptable range: $298 \pm 2\ \mathrm{pc}$ (depends on truncation).

Оригинал в Архива: theory_bg.pdf · официални решения: theory_sol.pdf · допълнителни данни: instructions_theory_bg.pdf · допълнителни данни: tableofconstants_bg.pdf · допълнителни данни: theory.pdf