Съдържание

МАО 2022, Теория, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2022

76-Я МОСКОВСКАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2022 г. 10 КЛАСС · 8 т.

Условие

Два последовательных противостояния астероида, наблюдаемые с Земли, произошли в перигелии и в афелии его орбиты. При этом поверхностные яркости астероида в противостояниях отличаются на $1.4^{\mathrm{m}}$ . Определите эксцентриситет и большую полуось орбиты астероида. Форму астероида считать близкой к шару. Плоскости орбит астероида и Земли и направление движения вокруг Солнца совпадают. Орбиту Земли считать круговой.

Отговори

Решение

Решение

Поскольку во время противостояний Земля находится в противоположных точках орбиты, синодический период астероида $S$ можно записать в виде

S = \frac{2n+1}{2} T_0,

где $T_0 = 1$ год, а $n = 1, 2, \ldots$ С помощью уравнения синодического движения определяем период обращения астероида $T$ :

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T};

T = \frac{S T_0}{S - T_0} = \frac{2n+1}{2n-1} T_0.

Из 3-го закона Кеплера получим величину большой полуоси астероида $a$ в а.е.:

a = \left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{\frac{2}{3}}.

Для любого $n$ получаем значение $a > 1$ а.е., причем по мере роста $n$ значение $a$ будет всё больше приближаться к 1 а.е.

Теперь обратимся к поверхностной яркости астероида в противостоянии. Освещенность $E$ , создаваемая астероидом на Земле, равна

E = \frac{L_{\odot}}{4\pi r^2} \frac{A \pi R^2}{4\pi (r - a_0)^2} \propto \frac{1}{r^2 (r - a_0)^2},

где $L_{\odot}$ — светимость Солнца, $A$ — альбедо астероида, $R$ — его радиус, $r$ — расстояние от астероида до Солнца, $a_0$ — радиус орбиты Земли. Видимую угловую площадь астероида (телесный угол) в противостоянии можно записать как

\sigma = \pi \left(\frac{R}{r - a_0}\right)^2 \propto (r - a_0)^{-2}.

Таким образом, освещенность, создаваемая единичной площадкой

E \propto r^{-2}.

Воспользуемся формулой Погсона, чтобы связать освещенности в перигелии $E_p$ и афелии $E_q$ :

\frac{E_p}{E_q} = \left(\frac{a(1+e)}{a(1-e)}\right)^2 = 10^{0.4\Delta m} \approx 3.63 = K^2.

Здесь $e$ — эксцентриситет орбиты астероида, $\Delta m = 1.4$ — разность поверхностных яркостей. Отсюда получаем значение эксцентриситета:

e = \frac{K-1}{K+1} \approx 0.31.

Вернемся к определению большой полуоси. Поскольку даже в перигелии астероид наблюдается в противостоянии, то $a(1-e) > 1$ а.е., т.е. подходящими будут только астероиды с $a > (1-e)^{-1} \approx 1.45$ а.е. При $n = 1$ получаем $a \approx 2.1$ а.е., при $n = 2$ получаем $a \approx 1.41$ а.е., что меньше необходимого. Очевидно, что при дальнейшем увеличении $n$ новых подходящих решений не появится.

Критерии проверки

Определение отношения освещённостей (формула Погсона) — 1 балл
Связь освещённости с расстоянием до астероида — 1 балл
Правильное вычисление значения эксцентриситета — 1 балл
Определение синодического периода астероида — 1 балл
Определение сидерического периода астероида — 1 балл
Вычисление большой полуоси астероида — 1 балл
Доказательство единственности ответа — 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(В. Б. Игнатьев)

Оригинал в Архива: mos_astro_2022_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2022_teor_10_ans.pdf