МАО 2022, Теория, 7. клас — Задача 3

• 3 дня

  Трехдневная неделя: $1461 = 3 \times 487$, а неделя из 487 дней длиннее года.

Решение

В обычном календарном году 365 дней, а в високосном — 366. За 4 года пройдет

Для того, чтобы календарь повторялся каждые 4 года необходимо, чтобы в этот промежуток времени укладывалось целое число недель. Значит, нам необходимо найти делители числа 1461.

Первый делитель найти легко. Поскольку сумма цифр числа 1461 равна 12 и делится на 3, то 3 — искомый делитель. Тогда $3 \times 487 = 1461$. Число 3 — простое. Для того, чтобы найти простые делители числа 487 нужно перебрать все простые числа от 2 до $\sqrt{487} \approx 22$. Это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Ни на одно из этих чисел 487 не делится без остатка, следовательно, оно простое.

У нас есть два варианта, неделя длиной 3 дня или 487 дней. Во втором случае неделя получается длиннее года, так что такой вариант не подходит. Остается трехдневная неделя.

Формально у числа 1461 есть делитель 1, но неделя из одного дня не имеет смысла, поскольку тогда день и неделя не отличимы друг от друга.

Критерии проверки

• Вывод о том, что за 4 года проходит 1461 день — 2 балла

• Найден делитель 3 — 2 балла

• Показано, что второй делитель 487 — простой — 2 балла

• Окончательный ответ — 2 балла

  Если в ответ вынесены оба числа, то за последний пункт выставляется только 1 балл.

  Ответ без обоснования оценивается 0 баллов.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(В. Б. Игнатьев)