МАО 2022, Теория, 9. клас — Задача 4

• Впервые 1 марта — в 8101 году, впервые 29 февраля — в 8104 году; в последний раз на 1 марта — в 8296 году.

Решение

Сейчас Старый Новый год или 1 января по юлианскому календарю приходится на 14 января. Между действующим григорианским календарем и юлианским есть важное отличие. Каждый год, номер которого заканчивается на 00 (например, 1700, 2100, 3300 …) и число столетий которого не делится на 4, в григорианском календаре не является високосным, тогда как в юлианском — является.

Разница в 1 день между началом года в двух календарях будет расти на 3 дня за 400 лет. Между 14 января и 28 февраля 45 дней. Такая разница накопится за 15 400-леток или за 6000 лет. Значит в $2021 + 6000 = 8021$ году Старый Новый год будет приходиться на 28 февраля.

Как и 2000-й, 8000 год високосный в обоих календарях, значит в 8100 году в последний раз Старый Новый год придется на 28 февраля, а 29 февраля в григорианском календаре не будет. Високосный день появится в юлианском календаре только спустя почти 2 месяца после начала года, т.е. разница между календарями увеличится на день. Тогда в следующем, 8101 году старый Новый год выпадет на следующий после 28 февраля день — 1 марта. Поскольку этот год не високосный, то 29 февраля в нем нет вообще.

Ближайшим високосным годом окажется 8104-й. Вот тогда-то и будет Старый Новый год 29 февраля.

Ответим теперь на последний вопрос. Очевидно, что до 8200 года раз в 4 года Старый Новый год будет попадать на 29 февраля, а 3 раза на 1 марта. После 8200 года разница в календарях вырастет еще на 1 день и ситуация всё столетие будет подобной: каждый високосный год старый Новый год будет попадать на 1 марта. Последним таким високосным годом будет 8296.

Можно добавить, что спустя довольно продолжительное время, когда юлианский календарь отстанет от григорианского на год и два месяца, снова наступит период, когда Старый Новый год начнет выпадать на 29 февраля и 1 первое марта. Потом отставание увеличится на 2 года и так далее. То есть, в строгом смысле, последнего раза не будет, если не начать рассуждать о конечности жизни Солнца или Вселенной в целом. В данной задаче такие рассуждения, очевидно, излишни.

Критерии проверки

• Правильное понимание устройства григорианского календаря — 1 балл
• Расчет столетия, в котором разница достигнет 60 дней — 2 балл
• Год, когда СНГ в первый раз выпадает на 1 марта — 1 балл
• Год, когда СНГ в первый раз выпадает на 29 февраля — 2 балл
• Год, когда СНГ в последний раз выпадает на 1 марта — 2 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(А. В. Ребриков, В. Б. Игнатьев)