Съдържание

МАО 2022, Теория, 9. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2022

76-я Московская астрономическая олимпиада 2022 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Гелиограф — один из метеорологических приборов. Он предназначен для регистрации количества времени в сутках, которое Солнце не закрыто облаками. Конструкция гелиографа приведена на рисунке и фотографии. На особой неподвижной монтировке, ось которой направлена на полюс Мира, закреплен стеклянный шар. На вогнутом экране (его называют «чашка») за шаром располагается тёмная полоска бумаги (её размеры в нашем конкретном случае всегда одинаковые). Солнечное излучение, пройдя через шар, попадает на эту полоску и прожигает её. По длине прожженной части определяется время, которое в этот день прямой солнечный свет доходил до прибора.

a) Зная, что расстояние от центра шара до экрана равно 200 мм и считая, что прибор устанавливается на местности на много лет, определите минимальную высоту полосок бумаги, которые надо заготовить для приборов, установленных на широте $55^{\circ}$ и на широте $30^{\circ}$ . Искривлением прожжённых суточных следов на бумаге пренебречь.

б) Как видно из схемы и фото прибора, «чашка» и полоска имеет форму, близкую к трапеции с зауженной верхней частью. Объясните, чем это может быть вызвано?

Слева — схема гелиографа с подписями: «Чашка (регулируется по широте местности)», «Стеклянный шар», «Крепление», «Держатель чашки», «Подвижное основание», «Основание», «Регулировочный винт». Справа — фотография гелиографа, стрелка с подписью «Полоска бумаги» указывает на полоску за шаром.

Примечание: конкретный вид прибора не играет роли при решения задачи.

Серая полоска бумаги в форме трапеции с зауженной верхней частью; сверху подпись «длина полоски», слева вертикальная подпись «высота полоски», снизу подпись «Полоска бумаги».

Отговори

Решение

Повтор рисунка условия: слева — схема гелиографа с подписями «Чашка (регулируется по широте местности)», «Стеклянный шар», «Крепление», «Держатель чашки», «Подвижное основание», «Основание», «Регулировочный винт»; справа — фотография гелиографа со стрелкой «Полоска бумаги».

Повтор рисунка условия: полоска бумаги в форме трапеции с зауженной верхней частью; подписи «длина полоски», «высота полоски», «Полоска бумаги».

Решение

Чтобы понять, как на полоске бумаги появляется отметка о положении Солнца, нарисуем в проекции на небесный меридиан схему хода луча Солнца, находящегося в верхней кульминации.

Схема в проекции на небесный меридиан: окружность «шар гелиографа», пунктирный луч Солнца проходит через её центр и попадает на дугу «полоска бумаги» за шаром; концы дуги подписаны «верх “чашки”» и «низ “чашки”».

Луч Солнца, идущий через центр шара, не изменит своего направления, а для остальных лучей шар будет работать аналогично положительной линзе, собирая свет в пятно на бумаге. В ходе суточного движения пятно будет перемещаться по полоске бумаги, прожигая линию той или иной степени прерывистости (в зависимости от наличия/отсутствия облаков). Чем выше Солнце находится на небе в полдень, тем ниже на полоске будет суточный след. Этим и определяется минимальная высота полоски бумаги, необходимая для того, чтобы на неё мог попасть суточный след в крайних положениях Солнца по высоте над горизонтом: в дни зимнего и летнего солнцестояний. Эти два положения на небе разделяет угол примерно в $23.5\times 2 = 47^{\circ}$ .

Окружность с центром O; через центр проходят два луча (крайние положения Солнца), попадающие в точки З и Л за окружностью; дуга со стрелкой между З и Л.

Крайние положения показаны на рисунке. Высоту $h$ полоски ЗЛ можно найти разными способами, например, через соотношение длины окружности и длины дуги:

h = \frac{47^{\circ}}{360^{\circ}}2\pi R = 164\ \text{мм}.

Как мы видим, высота полоски не зависит от широты места наблюдения (до тех пор пока Солнце в полдень кульминирует над горизонтом, что выполняется и для широты $55^{\circ}$ , и для широты $30^{\circ}$ ).

Длина части суточного пути Солнца, находящейся над горизонтом, зависит от сезона. Зимой она короче, летом длиннее. Поэтому полоску бумаги можно вырезать соответствующим образом. Экономии бумаги при этом не происходит, т.к. обрезки идут в мусор. Поэтому основная причина в другом — бесполезная часть полоски будет отбрасывать тень в летние дни, когда Солнце восходит (и заходит) в точках горизонта, находящихся севернее точек запада и востока.

Критерии проверки

Рассмотрение влияния сезонного изменения высоты Солнца — 2 балла
Вычисление высоты полоски с верным ответом — 3 балла (с ответом в 2 раза меньшим — 1 балл)
Ответ, что высота полоски не зависит от широты — 1 балл
Полное верное (через длину суточного пути и экранирование) объяснение почему полоску (чашку) обрезают — 2 балла (если без длины суточного пути или без экранирования — 1 балл)

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(А. М. Татарников)

Оригинал в Архива: mos_astro_2022_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2022_teor_9_ans.pdf