Съдържание

МАО 2023, Теория, 6. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 6 класс · 8 т.

Условие

Станция управления полётами, расположенная на Земле, наблюдает за спутником Сатурна Титаном. В момент захода Титана за диск Сатурна космический аппарат на орбите Титана отправляет световой сигнал на Землю. Определите с точностью до нескольких минут, с какой временной задержкой должен быть отправлен ответ от станции управления полётами, чтобы спутник получил ответ сразу после того, как выйдет из-за диска планеты.

Орбиты Земли, Сатурна и Титана считать круговыми и лежащими в одной плоскости. Сатурн в момент наблюдений находится в противостоянии.

Отговори

Решение

Решение. Найдём время, которое Титан находится за Сатурном. Поскольку диаметр Сатурна более чем в 10 раз меньше радиуса орбиты Титана, будем считать, что участок орбиты Титана за Сатурном прямолинейный. Минимальное время будет между моментами, когда весь Титан скрылся за Сатурном, и первым появлением Титана из-за планеты.

Большая окружность (диск Сатурна) и две малые окружности (Титан), касающиеся её изнутри слева и справа; пунктирные вертикали и размерные стрелки с подписями $R_{\mathrm{T}}$ (радиус Титана) и $R_{\text{♄}}$ (радиус Сатурна).

t = \frac{2(R_{\text{♄}} - R_T)}{V_{\mathrm{T}}},

где скорость Титана

V_T = \frac{2\pi a_{\mathrm{T}}}{T_{\mathrm{T}}}.

Тогда время покрытия:

t = \frac{R_{\text{♄}} - R_{\mathrm{T}}}{\pi a_{\mathrm{T}}} T_{\mathrm{T}} = \frac{60\,270\ \text{км} - 2580\ \text{км}}{\pi \times 1\,220\,000\ \text{км}} \times 16\ \text{сут} \approx 0.24\ \text{сут} \approx 20\,800\ \text{с}.

Теперь найдём время, за которое сигнал долетит до Земли от Титана. Поскольку по условию задачи Сатурн находится в противостоянии, то расстояние между Сатурном и Землёй $r = a_{\text{♄}} - a_{\oplus} = 8.6$ а.е., а расстояние между Сатурном и Титаном, который располагается за Сатурном, $r_{\mathrm{T}} = a_{\mathrm{T}}$ , тогда время, через которое придёт сигнал:

t' = \frac{r + a_{\mathrm{T}}}{c} = \frac{8.6\ \text{а.е.} \cdot 1.5 \times 10^8\ \text{км/а.е.} + 1\,220\,000\ \text{км}}{3 \times 10^5\ \text{км/с}} = 4304\ \text{с}.

Заметим, что сигналу нужно прилететь как от Титана к Земле, так и от Земли до Титана, то есть $t_0 = 2t' = 8608$ с. Тогда на Земле могут подумать над ответом в течение:

\Delta t = t - t_0 = 20800 - 8608 = 12\,192\ \text{с} \approx 3.4\ \text{ч}.

Критерии проверки

Определение времени покрытия Титана 3 балла

Если не учтён размер Титана (время около 21700), оценка за этап уменьшается на 2 балла.
Определение расстояния до Сатурна в противостоянии 1 балл
Определение времени прохождения света от КА до Земли 2 балла

Не обязательно учитывать время прохождения сигналом радиуса орбиты Титана.
Учёт факта, что сигналу нужно пройти туда и обратно 1 балл
Выражение для величины задержки времени и получение ответа 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Радиус орбиты Земли	$a_{\oplus} = 1$ а.е.
Радиус орбиты Сатурна	$a_{\text{♄}} = 9.54$ а.е.
Радиус орбиты Титана	$a_{\mathrm{T}} = 1\,220\,000$ км
Радиус Сатурна	$R_{\text{♄}} = 60\,300$ км
Радиус Титана	$R_{\mathrm{T}} = 2580$ км
Орбитальный период Титана	$T_{\mathrm{T}} = 16$ сут
Орбитальный период Луны	$T_{\text{☾}} = 27.3$ сут
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.53$ сут
Астрономическая единица	$1$ а.е. $= 149\,600\,000$ км

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_6_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_6_ans.pdf