МАО 2023, Теория, 6. клас — Задача 3

• Порядок распространения новости: 3 – 1 – 2 – 5 – 4; новость дойдёт до всех планет примерно через $2 \cdot \frac{10}{9} \approx 2.2$ года.

Решение. Планеты, внешние по отношению к третьей, движутся заметно медленнее неё. Поэтому третья планета их догонит, но произойдёт это спустя оборот, то есть больше, чем за пять лет. Внутренние же планеты завершают свой оборот вокруг звезды существенно раньше. Самая быстрая планета – первая, она и узнает новость первой.

За 5 лет третья планета совершает 1 оборот, а первая – пять. Значит, за это время первая планета обгонит пятую 4 раза. Тогда первый раз она её догонит через $\frac{5}{4} = 1.25$ года. Сделаем рисунок, на котором укажем начальное положение планет и их положение на момент первой встречи 1-ой и 3-ей планет.

Планета 3 к этому моменту времени успевает совершить четверть оборота, планеты 4 и 5, соответственно, — в 2 и 4 раза меньшую часть своего оборота, а планета 2 — больше половины оборота ($\frac{5}{8}$, но это не слишком важно). Планеты 1 и 2 обмениваются новостями раз в два года, когда располагаются в тех же позициях, в которых были сначала. После этого 1-я планета догонит последовательно 5-ю, а затем и 4-ю планеты. Таким образом, получаем последовательность распространения новости: 1 – 2 – 5 – 4.

Определим, как часто оказываются на минимальном расстоянии 1-я и 4-я планеты. За 10 лет четвёртая планета совершает 1 оборот, а первая – 10. Значит, за это время они встречаются 9 раз. То есть период составляет $\frac{10}{9}$ года. Новость дойдёт до четвёртой планеты после завершения второго витка первой планетой, то есть через $2 \cdot \frac{10}{9} \approx 2.2$ года.

Критерии проверки

1. Определение правильного порядка планет 4 балла
2. Правильное определение времени распространения новости 4 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)