Съдържание

МАО 2023, Теория, 9. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Самолёт на высоте $h = 10\ \text{км}$ пролетает над Сингапуром (широта $\varphi \approx 0^{\circ}$ ) в день весеннего равноденствия. Пассажиры видят восход Солнца. Через какое время восход Солнца увидят жители Сингапура? Атмосферной рефракцией пренебречь.

Отговори

Решение

Решение. В день весеннего равноденствия момент восхода Солнца происходит в одно и тоже местное солнечное время в любой точке на Земле. На одном и том же меридиане, например, на меридиане Сингапура, восход Солнца будет происходить в одно и тоже время.

Наблюдатель в самолёте находится выше, чем наблюдатель на Земле. Для такого наблюдателя восход Солнца наступит раньше, так как наблюдатель на самолёте может заглянуть под горизонт наблюдателя, находящегося на поверхности Земли. Величина угла, на который может заглянуть под горизонт наблюдатель на самолёте — это величина понижения горизонта для него.

Окружность Земли с центром; вертикальный радиус $R_\oplus$ продолжен вверх на высоту $h$ до самолёта; из самолёта проведена касательная к окружности, в точке касания проведён второй радиус $R_\oplus$; угол $\alpha$ отмечен между радиусами у центра и между касательной и пунктирной горизонтальной линией у поверхности.

\alpha = \arccos\left(\frac{R_{\oplus}}{R_{\oplus} + h}\right) = \arccos\left(\frac{6400}{6410}\right) = 3.2^{\circ}.

Обратим внимание, что дата события — весеннее равноденствие, когда склонение Солнца равно нулю, а значит, восход Солнца происходит в точке востока. Для наблюдателя, расположенного на экваторе, в том числе и в Сингапуре, суточный путь Солнца перпендикулярен горизонту. Следовательно жители Сингапура увидят восход, когда Солнце пройдёт $3.2^{\circ}$ . Найдём время, за которое Солнце проходит $\alpha = 3.2^{\circ}$ . Поскольку на $1^{\circ}$ Земля поворачивается за 4 минуты, то

\Delta t = 3.2^{\circ} \times 4^m = 12^m 48^s.

Критерии проверки

Понимание причины, почему восход произойдёт в разное время 1 балл
Нахождение величины понижения горизонта 3 балла
Прямое указание, что суточный путь Солнца перпендикулярен горизонту 1 балл
Определение времени 3 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \text{К}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\ \text{кг}^{-1}\ \text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{м с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{кг с}^{-3}\ \text{К}^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а.е.} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \times 10^{16}\ \text{м}$

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцен-триситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_9_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_9_ans.pdf