Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2024, Теория, 7. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 7 класс · 8 т.

Бланк ответа

7 класс

номер работы

лист ____ из ____

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

В 2024 году каждый раз, когда Луна будет проходить мимо звезды Антарес ( $\alpha$ Скорпиона), где-то на Земле можно будет наблюдать покрытие этой звезды Луной. Сколько таких событий может произойти в 2024 году? Может ли в каком-то месяце случиться больше одного такого покрытия? Если может, то в каком месяце? Первое такое событие в 2024 году произойдёт 8 января и будет видно в Америке. Сколько покрытий Антареса можно наблюдать на северном полюсе на тёмном небе?

Отговори

Решение

Решение. Интервал времени, за который Луна совершает один оборот вокруг Земли относительно звёзд, называется сидерическим периодом. Он равен $T = 27.3$ сут. Значит, Луна будет покрывать Антарес каждые $T$ суток. В календарном году помещается $365.25/T \approx 13.4$ сидерических периодов. Это значит, что можно будет наблюдать 14 покрытий Антареса. Поскольку календарных месяцев только 12, в двух из них покрытие будет наблюдаться дважды: в начале и в конце месяца.

Сразу заметим, что Антарес — звезда южная. Солнце проходит через созвездие Скорпиона зимой, когда на северном полюсе полярная ночь. Следовательно, с северного полюса покрытия не будут видны вообще.

Осталось перебрать все возможные даты покрытий и найти те, которые попадают в один месяц. Будем вести счёт дней по всемирному времени. Первое покрытие происходит 8 января. Оно видно днём (Солнце было в Скорпионе чуть более, чем за месяц до этой даты) в Америке. Значит, по всемирному времени уже вторая половина дня. Следующее — через 27.3 суток, то есть 4 или даже 5 февраля, ведь продолжительность сидерического периода целое число суток и ещё примерно треть. В феврале 2024 года 29 дней, поэтому покрытие придётся сначала на 3 марта, а затем на 30 марта. Мы нашли, что первый месяц, когда будет наблюдаться два покрытия — это март.

Продолжаем перебор. Следующие покрытия произойдут 26/27 апреля, 24 мая, 20 июня, 17/18 июля, 14 августа, 10 сентября, 7/8 октября, 4 ноября, 30 ноября, 27/28 декабря.

Получается, что два покрытия произойдут в ноябре, но надо принять во внимание, что мы довольно грубо вычисляли даты, а 30 ноября — это последний день месяца, и накопленная ошибка может заметно изменить ответ. Поэтому проведем вычисления более аккуратно. До предпоследнего в году покрытия пройдёт 12 сидерических месяцев, а точнее, $13 \cdot 27.32 = 327.84$ суток. 327-й день после 8 января — это 30 ноября. Но если учесть, что должны пройти ещё почти сутки, а 8 января покрытие было по всемирному времени во второй половине дня, то уже настанет 1 декабря. Если использовать местное время, а не всемирное, то почти везде на Земле настанет 1 декабря, кроме самых западных районов США и Канады.

Замечание. Если бы мы использовали вместо сидерического синодический период Луны (29.5 сут), то получили бы только 13 покрытий и 2 покрытия в августе.

Критерии проверки

На северном полюсе покрытия Антареса не наблюдаются 1 балл
Обоснованное указание на то, что произойдёт 14 покрытий 4 балла

Если использован правильный период, но 13 покрытий, то 3 балла.

13 покрытий и синодический период – 2 балла.

12 покрытий и синодический период – 1 балл.
В марте два покрытия 1 балл
В ноябре или декабре два покрытия 1 балл
Замечено, что ответ ноябрь или декабрь не вполне однозначен 1 балл

Август при вычислении через синодический период – 1 балл.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(В. Б. Игнатьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год: $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки: $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли: $\rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике: $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана: $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек: 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_7_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_7_ans.pdf