Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2024, Теория, 7. клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 7 класс · 8 т.

Бланк ответа

7 класс

номер работы

лист ____ из ____

Сдайте этот лист вместе с работой!

Условие

Космический корабль вышел на круговую орбиту радиусом 8000 км над экватором далёкой землеподобной экзопланеты, полностью закрытой облаками. Диаметр планеты по верхней кромке облаков составил 9700 км, а масса — $3 \cdot 10^{24}$ кг. На корабле установлен радар, который смотрит точно вниз и облучает короткими импульсами небольшие участки поверхности планеты точно под кораблём. Импульсы, отражаясь от поверхности, приходят на корабль через 22 мс с отклонениями до 60 мкс. Определите среднюю плотность планеты без учёта атмосферы, высоту верхней кромки облаков и высоту гор на планете.

Отговори

Решение

Решение. Импульс, испущенный радаром, проходит расстояние от спутника до планеты, отражается и снова проходит то же расстояние до корабля. Значит, расстояние от радара до поверхности в среднем равно

L = \frac{ct}{2} = \frac{0.022\,\text{с} \cdot 300\,000\,\text{км/с}}{2} = 3300\,\text{км}.

Тогда можем определить радиус планеты: $R = r - L = 8000 - 3300 = 4700$ км. Отсюда получаем высоту верхней кромки облаков $H = \frac{9700}{2} - 4700 = 150$ км.

Плотность тела равна отношению его массы к объёму. Те участники, которые могут вычислить объём шара, без труда найдут плотность планеты:

\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3 \cdot 10^{24}}{\frac{4}{3}\pi \cdot (4.7 \cdot 10^{6})^3} \approx 6900\,\text{кг/м}^3.

Те же, кто не знают формулу для объёма шара, могут догадаться, что в неё обязательно входит радиус шара в кубе и ещё какой-то коэффициент. В справочных данных указана средняя плотность, масса и радиус Земли. Тогда мы можем записать следующее выражение:

\frac{\rho}{\rho_{\oplus}} = \frac{M}{M_{\oplus}} \cdot \left(\frac{R_{\oplus}}{R}\right)^3 = \frac{3 \cdot 10^{24}}{5.974 \cdot 10^{24}} \cdot \left(\frac{6370}{4700}\right)^3 \approx 1.25.

Домножая на плотность Земли $\rho_{\oplus}$ , получаем тот же самый ответ.

Ответим на последний вопрос задачи. Отклонения во времени прихода импульсов показывают на сколько ближе или дальше от радара находился участок поверхности, облучаемый в текущий момент времени. Если сигнал пришёл на 60 микросекунд раньше, значит, высоту горы он преодолел за 30 микросекунд, что в переводе на расстояние составляет $0.00003 \cdot 300000 = 9$ км.

Критерии проверки

Определение расстояния до поверхности планеты 2 балла

В случае ошибки этот и следующий этапы не засчитываются полностью, а максимальная оценка этапа 3 составляет 2 балла.
Определение радиуса планеты 1 балл
Плотность планеты 3 балла

Если за радиус планеты принята высота облаков, то этот этап оценивается 1 баллом при правильном выполнении.
Высота облаков 1 балл
Высота гор 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год: $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки: $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли: $\rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике: $= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана: $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек: 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_7_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_7_ans.pdf