Съдържание

МАО 2024, Теория, 9. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 9 класс · 8 т.

Условие

Северный полюс мира для Марса находится в созвездии Лебедя рядом с границей с Цефеем. Наблюдатель на Марсе обнаружил, что максимальное смещение звезды Альдерамин ( $\alpha$ Цефея) за половину марсианского года из-за параллакса составляет $\rho = 0.2''$ . Вычислите расстояние до этой звезды в световых годах. Чему равны большая и малая полуоси параллактического эллипса Альдерамина для наблюдателя на Земле?

Отговори

Решение

Решение. Альдерамин находится рядом с полюсом мира на Марсе. Значит, его параллактическое смещение происходит почти по окружности. В условии говорится о максимальном смещении за полгода, то есть о положении звезды на противоположных концах параллактического эллипса. За полгода Марс переместился на расстояние, равное диаметру его орбиты. Угол, на который сместилась звезда, численно равен углу, под которым виден диаметр орбиты Марса от звезды. Тогда расстояние до звезды равно

L = \frac{D}{\rho[\text{рад}]}\cdot 206265 = \frac{2\cdot 1.52\cdot 1\ \text{а. е.}}{0.2''}\cdot 206265 \approx 3.1\cdot 10^6\ \text{а. е.} \approx 15.2\ \text{пк} \approx 50\ \text{св. лет}.

Получаем, что параллакс Альдерамина для земного наблюдателя $\pi_\mathrm{A} = 1/15.2\ \text{пк} = 0.066''$ . Этот ответ можно получить, заметив, что параллакс звезды на Марсе равен $0.1''$ , а поскольку радиус земной орбиты меньше в 1.52, то и параллакс будет меньше во столько же.

Чтобы найти величину малой полуоси параллактического эллипса, вспомним, что из-за прецессии оси Земли полюс мира смещается. В будущем он пройдёт как раз через созвездие Цефея, и Альдерамин на какое-то время станет полярной звездой. Значит, расстояние Альдерамина от северного полюса эклиптики — около $23^{\circ}$ (в действительности $21^{\circ}$ ). Тогда малая полуось аберрационного эллипса равна $\pi_\mathrm{B} = \pi_\mathrm{A}\cos 23^{\circ} \approx 0.06''$ .

Заметим, что эксцентриситет параллактического эллипса равен $e = \sqrt{1 - \cos^2 23^{\circ}} \approx 0.4$ , что существенно больше эксцентриситета орбиты Земли.

Критерии проверки

Определение расстояния до звезды 3 балла

Если ответ дан не в тех единицах, то выставляется не более 2 баллов за этап.

Если ответ в 2 раза меньше, то выставляется не более 1 балла за этап.
Определение параллакса для Земли 3 балла

Если не учтена разница орбит земли и Марса, то этап не засчитывается.
Определение малой полуоси 2 балла

Засчитывается только при правильном обосновании использования $\cos 23^{\circ}$ .

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Бланк к задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

К задаче 6

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827\cdot 10^{26}\ \text{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^\mathrm{m}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^\mathrm{m}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$= 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^\mathrm{m}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10\cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2\cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998\cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$
Постоянная Планка	$\mathrm{h} = 6.626\cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}$
Масса протона	$m_\mathrm{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496\cdot 10^{11}\ \text{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086\cdot 10^{16}\ \text{м}$
Время накопления сигнала глазом	$= 0.05\ \text{с}$

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_9_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_9_ans.pdf