Съдържание

МАО 2026, Теория, 7. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 7 класс · 8 т.

Указания к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Однажды ранним декабрьским вечером астроном-любитель наблюдал спутник Сатурна Титан в свой телескоп системы Ньютона с диаметром главного зеркала $D = 200$ мм и фокусным расстоянием $F = 1000$ мм. Ровно через сутки он повторил наблюдения и обнаружил, что положение Титана относительно Сатурна не изменилось, а кольца Сатурна пропали. Следующие две ночи погода была облачной, и наблюдения провести не удалось. Сможет ли астроном увидеть Титан на третью ночь (если повезёт с погодой). Если да, то где именно он будет находиться относительно Сатурна, если нет — почему? Какое редкое астрономическое явление можно будет наблюдать в ту же ночь? Почему оно редкое?

Отговори

Решение

Решение. Орбитальный период Титана можно найти в справочных данных: $P = 15.945$ сут. За сутки Титан проходит дугу орбиты, равную

\alpha = \frac{1}{15.95} 360^{\circ} \approx 22.57^{\circ}.

Если между первым и вторым наблюдениями Титан не изменил своего положения относительно Сатурна, значит, максимальное удаление Титана от Сатурна (положение A на рисунке) произошло между наблюдениями.

Орбита Титана — большая окружность с Сатурном (кольца) в центре. Горизонтальный радиус к точке A подписан $a_{\text{Т}}$; две точки на орбите симметрично выше и ниже A соединены штриховыми линиями с центром, между нижней линией и радиусом к A подписан угол $\alpha/2$, между верхней и следующей — угол $\alpha$; выше по орбите отмечены два крестика и ещё одна точка на штриховых лучах. От нижней точки вниз идёт стрелка с подписью «К Земле».

На третью ночь после второго наблюдения Титан пройдёт по орбите дугу $3.5\alpha \approx 79^{\circ}$ от точки A. Орбита Титана лежит почти точно в плоскости колец Сатурна. Пропадание колец указывает на то, что наблюдатель видит систему «с ребра», то есть находится в плоскости колец. Следовательно, пройди Титан ещё $11^{\circ}$ , он оказался бы либо на фоне диска Сатурна, либо за ним, как показано на рисунке. Эта часть дуги орбиты в линейной мере равна $\frac{11^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi a_{\text{Т}} \approx 235\,000$ км и располагается почти перпендикулярно лучу зрения. Эта величина чуть меньше двух диаметров Сатурна. Значит, Титан будет располагаться на небе близко к Сатурну с той же стороны, что и ранее.

Если Титан проходит за планетой, происходит его покрытие Сатурном. Если же он проходит перед диском, разглядеть сам спутник на ярком фоне вряд ли получится, однако возможно увидеть тень Титана на диске Сатурна. Подходящие условия для наблюдения этих явлений возникают дважды за период обращения Сатурна вокруг Солнца — примерно раз в 15 лет.

Критерии проверки

Объяснено, почему Титан не изменил положение относительно Сатурна 1 балл
Правильное положение на орбите в первую и вторую ночь относительно Сатурна и наблюдателя 1 балл
Угол (дуга / доля орбиты), который Титан проходит за сутки 1 балл
Вычислено положение спутника относительно Сатурна в последнюю ночь 1 балл
С какой стороны от Сатурна будет спутник 1 балл
Указана возможность покрытия Титана Сатурном или прохождения по диску 1 + 1 балл
Объяснено, почему это редкое событие 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

Бланк ответа

7 класс

ID заявки

лист ____ из ____

Сдайте этот лист вместе с работой!

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца: $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца: $T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная: $E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год: $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки: $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли: $\rho_{\oplus} = 5515$ кг/м $^3$
Синодический месяц: $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике: $= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики: $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца): $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Масса протона: $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона: $m_{\mathrm{e}} = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица: 1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек: 1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Радиус орбиты, а.е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце			$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут.
Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут.
Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут.
Земля	1	365.26 сут.	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	27.32 сут.	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Титан	0.008 17	15.945 сут	$1.345\times10^{23}$	2.57	15.945 сут.
Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 7_prob.pdf · официални решения: 7_sol.pdf