НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 25. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), VII÷IX клас — задача 5

• 0.1 m

  Най-малкият различим обект е около 10 cm, така че слоновете се виждат.

За да определим размерите на обекти по земната повърхност, които могат да бъдат различавани с камерата, трябва да изчислим височината, на която лети спътникът. Използваме третия закон на Кеплер:

$\left(\dfrac{T_1}{T_{gs}}\right)^2 = \left(\dfrac{R_1}{R_{gs}}\right)^3$

или

$R_1 = R_{gs}\left(\dfrac{T_1}{T_{gs}}\right)^{2/3} = 6550\,km$ ( 2 т. )

където $T_1 = 88$ km е периодът на спътника, $T_{gs}$ - периодът на геостационарния спътник, $R_1$ - радиус на орбитата на спътника с камерата, $R_{gs}$ - радиус на орбитата на геостационарния спътник:

$R_{gs} = R_{\oplus} + H_{gs} = 6370 + 35770 = 42140\ km.$ ( 1 т. )

Периодът на геостационарния спътник е равен на периода на едно завъртане на Земята около оста ѝ, т.е. на едно звездно денонощие: $T_{gs} = =23^h\,56^m = 1436^m$ ( 2 т. )

$R_1 = R_{\oplus} + H,$

където Н е височината на спътника над земната повърхност.

$H = R_1 - R_{\oplus} = 6550 - 6370 = 180\ km$ ( 1 т. )

Нека h е разстоянието от обектива на камерата, на което се получава образът на фотографирания обект, l- разделителната способност на фотоемулсията, L- размерът на обект с изображение равно на разделителната способност на камерата, f- фокусното разстояние на камерата. Обективът O създава изображение на обекта L върху приемника (виж фигурата).

Нека големината на това изображение l е равна на разделителната способност на приемника, т.е. $l = 10\ \mu m$.

I начин:

От подобието на триъгълниците от фигурата следва, че

$\dfrac{l}{L} = \dfrac{h}{H}$, и следователно: $L = l\,\dfrac{H}{h}$ . ( 2 т. )

От основното уравнение на геометричната оптика

$\dfrac{1}{H} + \dfrac{1}{h} = \dfrac{1}{f}$

получаваме, че $h = \dfrac{fH}{f+H}$ .

Тогава окончателно получаваме:

$\boxed{L = \dfrac{l}{f}(H-f)}$ . ( 3 т. )

Тъй като $H \gg f$, то при числовите пресмятания е удобно да напишем:

$L = l\,\dfrac{H}{f} = 0{,}1m$ ( 2 т. )

II начин: От формулата за мащаб на камера

$d = \delta f \qquad [\delta] = rad,$ ( 2 т. )

следва, че $l = \delta f$ или: $\delta = \dfrac{l}{f}$ .

Тъй като $H \gg l$ , то

$\dfrac{L/2}{H} = \dfrac{\delta}{2}$ , или $L = \dfrac{\delta}{H}$ . ( 3 т. )

Следователно

$L = l\,\dfrac{H}{f} = 0{,}1m$ . ( 2 т. )

Тъй като слоновете са съществено по-големи от 10 cm, то няма проблеми да бъдат наблюдавани с този спътник. ( 0 т. )