НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 26. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), X÷XII клас — задача 1

• 1.9 a.u.

  $x_2 = R(2-\sqrt3)/(\sqrt3-1) = 0{,}37R$.

Слънцето има маса около 1 000 пъти по-голяма от тази на Юпитер, така че размерите на областите, където гравитационното поле на Юпитер е сравнимо с това на Слънцето, са около $10^6$ пъти по-малки от радиуса на планетната орбита. Заедно с това, времето на взаимодействие на кометата с Юпитер е несравнимо по-малко от периода на обиколка на Юпитер и кометата около Слънцето, и следователно преместването на кометата за това време е нищожно. Затова можем да разбием движението на кометата на три независими етапа:

а) Движение на кометата от безкрайността по посока към Слънчевата система под действието на гравитационното поле на Слънцето;

б) “Мигновеното” завъртане в гравитационното поле на Юпитер;

в) Движение по елиптична орбита около Слънцето (като не се отчита влиянието на Юпитер).

Центростремителното ускорение, с което Юпитер се движи по своята орбита около Слънцето, трябва да е равно на ускорението, създавано от силата на привличане на Слънцето:

$\dfrac{v^2}{R} = \dfrac{GM}{R^2}$

където M е масата на Слънцето, а v е скоростта на Юпитер. От това условие получаваме:

$v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ ( 2 т. )

Скоростта на кометата $v_k$ при доближаване до Юпитер в края на първия етап от движението ѝ се определя от закона за запазване на енергията (в безкрайно отдалечената точка, тази скорост се полага за равна на нула):

$\dfrac{v_k^2}{2} - \dfrac{GM}{R} = 0$ , $\qquad v_k = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = v\sqrt{2}$ . ( 3 т. )

Посоките на скоростта на кометата и на Юпитер в началния момент от време са перпендикулярни. От векторната диаграма на фигурата, като приложим питагоровата теорема, получаваме за относителната скорост на кометата спрямо Юпитер:

$v'_k = v\sqrt{3}$ ( 3 т. )

След като гравитационното поле на Юпитер престане да действа на кометата (в началото на третия етап), скоростта на кометата относно Юпитер се изменя само по посока, но спрямо Слънцето тя остава равна на:

$v_1 = v(\sqrt{3}-1)$

и е противоположна по посока на скоростта на Юпитер. Вижда се, че тази скорост е по-малка от скоростта, с която Юпитер се движи по орбитата си ($v_1 = 0.73\ v$). Следователно орбитата на кометата ще бъде елиптична с перихелий, значително по-близък до Слънцето. ( 3 т. )

Сега кометата отново взаимодейства само със Слънцето. В афелия и перихелия скоростта на кометата става перпендикулярна на радиус-вектора с начало в Слънцето, и от закона за запазване на момента на импулса следва:

$v_1R = v_2x$ ( 2 т. )

а законът за запазване на енергията дава:

$\dfrac{v_1^2}{2} - \dfrac{GM}{R} = \dfrac{v_2^2}{2} - \dfrac{GM}{x}$ . ( 2 т. )

Като решим системата от последните две уравнения, за x получаваме квадратно уравнение с два корена ( 1 т. ).

Първият от тях е

$x_1 = R = 5{,}2\ a.u.$,

който се явява разстоянието в афелия, и за който двете уравнения се обръщат в тъждества. Вторият корен е:

$\boxed{x_2 = R\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = 0{,}37R = 1{,}9\,a.u.}$

и представлява търсеното разстояние в перихелия. ( 2 т. )