НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 27. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), X÷XII клас — задача 2

• Без рефракция t ≈ 30h 26m; при отчитане на рефракцията продължителността на изгрева не се променя.

За разлика от местата с по-малки географски ширини, където Слънцето изгрява и залязва поради денонощното въртене на Земята около нейната ос, на полюса изгревът на Слънцето става поради видимото годишно движение на Слънцето по еклиптиката, което се дължи на обикалянето на Земята около Слънцето. ( 2 т. )

I случай: Рефракцията не се отчита.

$A_1$, $A_2$ – положения на центъра на слънчевия диск съответно в началото и в края на изгрева. ( 1 т. )

Тъй като за наблюдател на полюса небесният екватор съвпада с хоризонта, ъгълът между еклиптиката и хоризонта е ε. ( 1 т. )

В $\Delta A_1A_2B$: $BA_2 = d_{\odot}$;

$A_1A_2 = BA_2/\sin\varepsilon = d_{\odot}/\sin\varepsilon.$ ( 1 т. )

При движението си по еклиптиката Слънцето ще измине разстоянието $A_1A_2$ за време t. Ако $T_{\oplus}$ е периодът, за който то прави пълна обиколка по еклиптиката, равен на една година, то:

$t/T_{\oplus} = A_1A_2/360^{\circ}$

$t = A_1A_2.T_{\oplus}/360^{\circ}$ ( 1 т. )

$t = d_{\odot}.T_{\oplus}/360^{\circ}.\,\mathrm{Sin}\,\varepsilon \approx 30^h\,26^m$ ( 1 т. )

II случай: Рефракцията се отчита.

Нека $S_0$ е истинското положение на една точка от небесната сфера, а S е видимото ѝ положение в момента, в който се наблюдава нейният изгрев на хоризонта. Видимото положение S на точката е отместено на ъглово разстояние r над точката $S_0$, като r е ъгълът на максимална рефракция. Вследствие на рефракцията изгревът на дадената точка от небесната сфера се наблюдава с интервал от време Δt по-рано, отколкото би се наблюдавал при липса на рефракция. Това избързване ще е едно и също за всяка точка от слънчевия диск. Следователно, макар че поради рефракцията моментите на изгрев на всички точки от слънчевия диск ще бъдат отместени напред във времето, общата продължителност на изгрева няма да се промени. ( 6 т. )