НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 28. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), X÷XII клас — задача 3

• $1 \times 10^{40}$ kg

  Порядък: $M \approx 10^{40}$ kg, или $5\times10^9$ слънчеви маси.

Съгласно ефекта на Доплер лъчевата скорост на галактиката е $V = c.\Delta\lambda/\lambda_0$ ( 2 т. ) . Ако приемем, че тази скорост е изцяло свързана с космологичното разширение на Вселената, по закона на Хъбъл ($v = H_0D$) можем да определим разстоянието до галактиката:

$D = \dfrac{V}{H_0} = \dfrac{c\cdot\Delta\lambda}{H_0\lambda_0}$ , ( 2 т. )

където c е скоростта на светлината, $H_0$- константата на Хъбъл. Ако изразим ъгловия размер на галактиката в радиани ($d = 6'/3438' = 1{,}75\times10^{-3}\ rad$), то нейният линеен радиус ще бъде:

$R = \dfrac{dD}{2} = \dfrac{d\cdot\Delta\lambda\cdot c}{2\lambda_0H_0}$ ( 2 т. )

Скоростта на движение на звездите в галактиката също ще определим по ефекта на Доплер: разширението на спектралните линии в галактиките е свързано с факта, че част от звездите се приближават към нас, а друга част се отдалечават от нас. Поради тази причина характерната скорост на звездите е $v = c.\sigma/2\lambda_0$ ( 4 т. ). Това не е нищо друго, освен скоростта на движение на звездите около галактичния център, която от своя страна, е много близка до скоростта на въртене на звездите по кръгова орбита около галактичния център (поради това, че разстоянията от звездите в галактиката до нейния център са много големи) От равенството на центростремителното ускорение на ускорението, създавано от силата на тежестта: $V^2 \approx GM/R$, където M е масата на галактиката ( 3 т. ). Тогава окончателно

$\boxed{M = \dfrac{V^2R}{G} = \dfrac{d\cdot\Delta\lambda\cdot\sigma^2\cdot c^3}{8\lambda_0^3H_0G} \approx 10^{40}kg}$

или $5\times10^9$ слънчеви маси. ( 1 т. )