НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 29. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), X÷XII клас — задача 4

• След около 106 денонощия; Земята ще се вижда в съзвездието Змиеносец.

Земята, като вътрешна за Марс планета, се движи по-бързо по орбитата си и след време $t_e$ ще застане, гледана от Марс, в западна елонгация (т. З на фигурата). ( 2 т. )

Триъгълникът ОЗМ е правоъгълен с прав ъгъл в т.З. Известна е страната ОЗ = $R_{\text{З}}$ = 1 a.u. Страната ОМ = $R_M$ можем да определим от третия закон на Кеплер, написан за Марс и Земята

$OM = R_M = (R^3_{\text{З}}\,T_M^2/T_{\text{З}}^2)^{1/3} = 1{,}52\ a.u.$

$\cos\alpha_{\text{ЗМ}} = O\text{З}/OM = R_{\text{З}}/R_M = 1/1.52 = 0.66$ ( 2 т. )

Следователно:

$\alpha_{\text{ЗМ}} \approx 48^{\circ}.7 = 0.85\ rad.$

$\alpha_{\text{ЗМ}} = \alpha_{\text{З}} - \alpha_M$ ( 1 т. )

Обаче $\alpha_{\text{З}} = \omega_{\text{З}}t_e$ и $\alpha_M = \omega_Mt_e$, където $\omega_{\text{З}}$ е ъгловата скорост на Земята, а $\omega_M$ е ъгловата скорост на Марс.

$\omega_{\text{З}} = 2\pi/T_{\text{З}}$; $\omega_M = 2\pi/T_{\text{З}}$.

Оттук получаваме:

$\alpha_{\text{З}M} = (\omega_{\text{З}} - \omega_M)t_e = 2\pi\left(\dfrac{1}{T_{\text{З}}} - \dfrac{1}{T_M}\right)\cdot t_e$ ( 2 т. )

откъдето окончателно

$t_e = \dfrac{\alpha_{\text{З}M}}{2\pi\left(\dfrac{1}{T_{\text{З}}} - \dfrac{1}{T_M}\right)} \approx 106^d$ ( 1 т. )

Продължението на страната МЗ ни дава посоката, в която ще се вижда Земята от Марс. Удобно е да определим ъгъла между посоките $\text{З}_0O$ (респективно $M_0O$) и МЗ ( 1 т. ). За целта разглеждаме ΔОАМ и търсим ъгъл β.

$\beta = 180 - (180 - \alpha_M) - \beta_M = \alpha_M - \beta_M$

$\alpha_M = \omega_Mt_e = 2\pi t_e/T_M = 0{,}97\ rad = 55{,}6^{\circ} \approx 56^{\circ}.$

$\beta_M = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha_{\text{ЗМ}} = 90^{\circ} - 48{,}7^{\circ} = 41{,}3^{\circ} \approx 41^{\circ}$

$\beta = \alpha_M - \beta_M = 56^{\circ} - 41^{\circ} = 15^{\circ}$ ( 2 т. ).

Следователно Земята ще се вижда 15° на изток от посоката, в която се е виждало Слънцето по време на противостоянието на Марс ( 1 т. ).

Тогава Слънцето е било в Скорпион и от звездната карта се вижда, че независимо къде точно в това съзвездие се е намирало то, Земята, когато е в максимална западна елонгация, ще се вижда в съзвездието Змиеносец. ( 2 т. )