НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 49. I кръг на II НОА (1998/1999 г.), ученици от 16 до 18-годишна възраст — задача 2
ЗАДАЧИ за първи кръг на олимпиадата по астрономия · 10 т.
Внимание: Бележка към темата
Сборник с шест отделни комплекта задачи с решения (1997/1998 и 1998/1999 г.): първи и втори кръг, републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), I кръг на задочната школа, I и II кръг на II НОА. Задачите са номерирани последователно 1–64; комплектът и групата са посочени в заглавието на всяка задача.
Задочна школа по астрономия, I кръг
Право на индивидуално участие в задочната школа имат всички ученици в посочените класове (курсове). Всеки участник трябва да изпрати решенията на задачите от настоящия първи кръг на адрес:
Народна астрономическа обсерватория и планетариум “Николай Коперник”
п.к. 120, гр. Варна 9000
Крайният срок на изпращането е 15 януари 1998 г. (дата на пощенското клеймо от мястото на изпращане). Решенията на задачите да са написани четливо и поставени общо в един плик заедно с празен плик, на който е залепена марка и написан адресът на автора на решенията.
Пожелаваме ви успех!
Условие
В резултат на излъчването на Слънцето неговата маса постепенно намалява. Обяснете как влияе това на разстоянието на планетите до Слънцето, ако се пренебрегне съпротивлението на междупланетната среда.
Решение
(10 точки) С намаляването на масата на Слънцето намалява и силата, с която то привлича всяка от планетите (1 т.). В резултат на това разстоянията на планетите до Слънцето постепенно трябва да се увеличават (2 т.).
Нека в даден момент една планета има скорост на движение относно Слънцето v и се намира на разстояние r от него. Приемаме за простота, че скоростта на движение на планетата е насочена перпендикулярно на правата, която свързва планетата и Слънцето. Ако в същия този момент Слънцето изведнъж изчезне, то планетата ще продължи да се движи в пространството равномерно и праволинейно със скорост v. Но ако Слънцето си остане там, то поради неговото привличане, траекторията на планетата ще се изкриви. Тя може да стане елипса, окръжност, парабола или хипербола. Планетата ще се движи по кръгова орбита в случай, че нейното центростремително ускорение е равно на ускорението на силата, с която Слънцето привлича планетата:
Центростремителното ускорение на планетата при движение със скорост v по кръгова орбита с радиус r е:
а ускорението на гравитационната сила на Слънцето е:
където γ е гравитационната константа, е масата на Слънцето. От (1) следва, че за да се движи планетата по кръгова орбита около Слънцето, нейната скорост трябва да е:
Това е формулата за първа космическа скорост за Слънцето на разстояние r. Нека предположим, че (1) е изпълнено и планетата наистина се движи по кръгова орбита. Ако от даден момент нататък масата на Слънцето започне постепенно да намалява, ще намалява и силата на привличане, която то упражнява върху планетата, а също и ускорението на тази сила. В първия момент, обаче, скоростта на планетата е същата, както преди масата на Слънцето да започне да намалява. Равенствата (1) и (2) ще се нарушат. Планетата няма вече да се движи по кръгова орбита. Т.е. гравитационното въздействие на Слънцето вече няма да може да изкривява траекторията на планетата достатъчно силно, така че тя да остане на същото разстояние (5 т.). Планетата постепенно ще се отдалечава от Слънцето по спирала (2 т.).
ЗАБЕЛЕЖКА
Максималният брой точки е 20. Необходимият брой точки, за допускане до участие в следващия кръг е:
А) За ученици от VII÷IX клас - 13 точки;
Б) За ученици от X÷XII клас - 13 точки.
Справочни данни (II кръг на II НОА, VII - IX клас)
Справочни данни: екваториален радиус на Земята R = 6378 km.
Справочни данни (II кръг на II НОА, X - XII клас)
Справочни данни: екваториален радиус на Земята R = 6378 km, звездно денонощие , сидеричен лунен месец .
Оригинал в Архива: 1998-1999-booklet.pdf