НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 63. II кръг на II НОА (06.03.1999 г.), X - XII клас — задача 4

• $\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{R_2^3\rho_2}{R_1^3\rho_1}$

4 задача. (16 т.) Масите на звездите са $M_1$ и $M_2$, а обемите им $V_1$ и $V_2$.

$M_1 = \rho_1V_1 = (4/3)\pi R_1^3\rho_1$; $\qquad M_2 = \rho_2V_2 = (4/3)\pi R_2^3\rho_2$ (2 т.)

Импулсите на звездите са съответно:

$\mathbf{p_1} = M_1\mathbf{v_1}$; $\qquad \mathbf{p_1} = M_1\mathbf{v_1}$ (1 т.)

Считаме, че двойната звезда е много отдалечена от всички други космически обекти и не изпитва въздействие от тях, т.е. може да се счита за затворена система (1 т.). Съгласно закона за запазване на импулса относно отправна система, свързана с центъра на масите на системата:

$\mathbf{p_1} + \mathbf{p_2} = 0$ (5 т.)

$\Rightarrow\ \mathbf{p_1} = -\mathbf{p_2}, \qquad \Rightarrow\ |\mathbf{p_1}| = |\mathbf{p_2}| \qquad \Rightarrow\ M_1v_1 = M_2v_2$ (1 т.)

Оттук следва, че:

$v_1/v_2 = M_2/M_1$ (2 т.)

$v_1/v_2 = [(4/3)\pi R_2^3\rho_2]/[(4/3)\pi R_1^3\rho_1]$

$v_1/v_2 = (R_2^3\rho_2)/(R_1^3\rho_1)$ (4 т.)