Съдържание

НОА 1998, III кръг (национален), 7–12 клас — X–XII.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1998

Задачи за републиканския кръг на I Национална олимпиадата по астрономия 2 април 1998г., гр. Варна · 2 април 1998 г. · 16 т.

Условие

Ученици X–XII клас · 3 задача

Ъгловият размер на елиптична галактика е $d = 6'$ , а линията на поглъщане на водорода H $_{\beta}$ в спектъра ѝ има дължина на вълната $\lambda = 4866$ Å и ширина $\sigma = 3$ Å. Оценете масата на галактиката. Лабораторната дължина на вълната за линията H $_{\beta}$ е $\lambda = 4861$ Å, константата на Хъбъл е $H_0 = 100\ \mathrm{km.s^{-1}.Mpc^{-1}}$ , скоростта на светлината $-$ $c = 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}$ , а гравитационната константа $-$ $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}$ .

Решение

Съгласно ефекта на Доплер лъчевата скорост на галактиката е $V=c\,\Delta\lambda/\lambda_0$ (2 т.). Ако приемем, че тази скорост е изцяло свързана с космологичното разширение на Вселената, по закона на Хъбъл ( $v=H_0D$ ) можем да определим разстоянието до галактиката:

D=\frac{V}{H_0}=\frac{c\,\Delta\lambda}{H_0\lambda_0},\qquad(2\ \text{т.})

където $c$ е скоростта на светлината, $H_0$ – константата на Хъбъл. Ако изразим ъгловия размер на галактиката в радиани ( $d=6'/3438'=1{,}75\times10^{-3}$ rad), то нейният линеен радиус ще бъде:

R=\frac{dD}{2}=\frac{d\,\Delta\lambda\,c}{2\lambda_0H_0}\qquad(2\ \text{т.})

Скоростта на движение на звездите в галактиката също ще определим по ефекта на Доплер: разширението на спектралните линии в галактиките е свързано с факта, че част от звездите се приближават към нас, а друга част се отдалечават от нас. Поради тази причина характерната скорост на звездите е $v=c\sigma/(2\lambda_0)$ (4 т.). Това не е нищо друго, освен скоростта на движение на звездите около галактичния център, която от своя страна, е много близка до скоростта на въртене на звездите по кръгова орбита около галактичния център (поради това, че разстоянията от звездите в галактиката до нейния център са много големи). От равенството на центростремителното ускорение на ускорението, създавано от силата на тежестта: $V^2\approx GM/R$ , където $M$ е масата на галактиката (3 т.). Тогава окончателно

M=\frac{V^2R}{G}=\frac{d\,\Delta\lambda\,\sigma^2c^3}{8\lambda_0^3H_0G}\approx10^{40}\ \mathrm{kg}

или $5\times10^9$ слънчеви маси. (1 т.)

Оригинал в Архива: NOA3_1998_problems.pdf · официални решения: NOA3_1998_7-9solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_1998_10-12solutions.pdf · допълнителни данни: 1998-1999-booklet.pdf