Съдържание

НОА 1998, III кръг (национален), 7–12 клас — X–XII.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1998

Задачи за републиканския кръг на I Национална олимпиадата по астрономия 2 април 1998г., гр. Варна · 2 април 1998 г. · 14 т.

Условие

Ученици X–XII клас · 4 задача

Нека когато Слънцето е в Скорпион се наблюдава противостояние на Марс. Марс и намиращият се недалеч от него Алдебаран представляват много красива гледка от две близко разположени оранжево-червеникави светила на нощното небе. След колко дни наблюдател, намиращ се на Марс, ще може да се любува на Земята в максимална западна елонгация, и в кое съзвездие ще се вижда тя? Периодът на обикаляне на Марс около Слънцето е $T_M = 686{,}67$ дни, а на Земята $-$ $T_3 = 365{,}24$ дни. Приемете, че орбитата на Марс е кръгова и лежи в равнината на еклиптиката.

Решение

Земята, като вътрешна за Марс планета, се движи по-бързо по орбитата си и след време $t_e$ ще застане, гледана от Марс, в западна елонгация (т.З на фигурата). (2 т.)

Триъгълникът ОЗМ е правоъгълен с прав ъгъл в т.З. Известна е страната $\text{ОЗ}=R_{\text{З}}=1$ a.u. Страната $\text{ОМ}=R_{\text{М}}$ можем да определим от третия закон на Кеплер, написан за Марс и Земята

\text{ОМ}=R_{\text{М}}=(R_{\text{З}}^3T_{\text{М}}^2/T_{\text{З}}^2)^{1/3}=1{,}52\ \mathrm{a.u.}

\cos\alpha_{\text{ЗМ}}=\text{ОЗ}/\text{ОМ}=R_{\text{З}}/R_{\text{М}}=1/1.52=0.66\qquad(2\ \text{т.})

Следователно:

\alpha_{\text{ЗМ}}\approx48^\circ{,}7=0.85\ \mathrm{rad}.

\alpha_{\text{ЗМ}}=\alpha_{\text{З}}-\alpha_{\text{М}}\qquad(1\ \text{т.})

Обаче $\alpha_{\text{З}}=\omega_{\text{З}}t_e$ и $\alpha_{\text{М}}=\omega_{\text{М}}t_e$ , където $\omega_{\text{З}}$ е ъгловата скорост на Земята, а $\omega_{\text{М}}$ е ъгловата скорост на Марс.

\omega_{\text{З}}=2\pi/T_{\text{З}};\quad\omega_{\text{М}}=2\pi/T_{\text{З}}.

Оттук получаваме:

\alpha_{\text{ЗМ}}=(\omega_{\text{З}}-\omega_{\text{М}})t_e=2\pi\left(\frac1{T_{\text{З}}}-\frac1{T_{\text{М}}}\right)t_e\qquad(2\ \text{т.})

откъдето окончателно

t_e=\frac{\alpha_{\text{ЗМ}}}{2\pi\left(\frac1{T_{\text{З}}}-\frac1{T_{\text{М}}}\right)}\approx106^{\mathrm d}\qquad(1\ \text{т.})

Продължението на страната МЗ ни дава посоката, в която ще се вижда Земята от Марс. Удобно е да определим ъгъла между посоките З₀О (респективно М₀О) и МЗ (1 т.). За целта разглеждаме $\triangle\text{ОАМ}$ и търсим ъгъл $\beta$ .

\beta=180-(180-\alpha_{\text{М}})-\beta_{\text{М}}=\alpha_{\text{М}}-\beta_{\text{М}}

\alpha_{\text{М}}=\omega_{\text{М}}t_e=2\pi t_e/T_{\text{М}}=0{,}97\ \mathrm{rad}=55{,}6^\circ\approx56^\circ.

\beta_{\text{М}}=180^\circ-90^\circ-\alpha_{\text{ЗМ}}=90^\circ-48{,}7^\circ=41{,}3^\circ\approx41^\circ

\beta=\alpha_{\text{М}}-\beta_{\text{М}}=56^\circ-41^\circ=15^\circ\qquad(2\ \text{т.})

Следователно Земята ще се вижда $15^\circ$ на изток от посоката, в която се е виждало Слънцето по време на противостоянието на Марс (1 т.).

Тогава Слънцето е било в Скорпион и от звездната карта се вижда, че независимо къде точно в това съзвездие се е намирало то, Земята, когато е в максимална западна елонгация, ще се вижда в съзвездието Змиеносец. (2 т.)

Орбити на Земята и Марс; начални положения и максимална западна елонгация с всичкиъгли.

Оригинал в Архива: NOA3_1998_problems.pdf · официални решения: NOA3_1998_7-9solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_1998_10-12solutions.pdf · допълнителни данни: 1998-1999-booklet.pdf