Съдържание

НОА 1999, II кръг (областен), 7–12 клас — X–XII.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1999

II Национална олимпиада по астрономия 1999, II кръг — задачи за VII–IX и X–XII клас · 6 март 1999 г. · 16 т.

Условие

В двойна система влизат звезди с плътности $\rho_1$ и $\rho_2$ и радиуси $R_1$ и $R_2$ . Определете отношението на техните скорости $v_1/v_2$ .

Отговори

Решение

4 задача. (16 т.) Масите на звездите са $M_1$ и $M_2$ , а обемите им $V_1$ и $V_2$ .

M_1 = \rho_1 V_1 = (4/3)\pi R_1^{3}\rho_1; \qquad M_2 = \rho_2 V_2 = (4/3)\pi R_2^{3}\rho_2 \qquad (2\ т.)

Импулсите на звездите са съответно:

p_1 = M_1 v_1; \qquad p_1 = M_1 v_1 \qquad (1\ т.)

Считаме, че двойната звезда е много отдалечена от всички други космически обекти и не изпитва въздействие от тях, т.е. може да се счита за затворена система (1 т.). Съгласно закона за запазване на импулса относно отправна система, свързана с центъра на масите на системата:

p_1 + p_2 = 0 \qquad (5\ т.)

\Rightarrow\ p_1 = -p_2, \qquad \Rightarrow\ |p_1| = |p_2| \qquad \Rightarrow\ M_1 v_1 = M_2 v_2 \qquad (1\ т.)

Оттук следва, че:

v_1 / v_2 = M_2 / M_1 \qquad (2\ т.)

v_1 / v_2 = [(4/3)\pi R_2^{3}\rho_2] / [(4/3)\pi R_1^{3}\rho_1]

v_1 / v_2 = (R_2^{3}\rho_2) / (R_1^{3}\rho_1) \qquad (4\ т.)

Бележка на архива: във втората формула за импулсите оригиналът е отпечатал повторно $p_1 = M_1 v_1$ вместо $p_2 = M_2 v_2$ .

Оригинал в Архива: NOA2_1999_problems.pdf · официални решения: NOA2_1999_solutions.pdf