НОА 1999, III кръг (национален), 7–12 клас — VII–IX.3. 3 (7-9 клас)

За да пада по права линия към Слънцето, корабът трябва да има начална скорост относно Слънцето, която е насочена към него, или е равна на нула. Тъй като изискването е за минимален разход на енергия, приемаме, че началната скорост на кораба спрямо Слънцето трябва да е 0. Относно Земята на кораба трябва да се придаде скорост, равна по големина и обратна по посока на скоростта на орбитално движение на Земята около Слънцето. Корабът трябва да се изстреля близо до времето, когато Земята е в афелий, защото тогава орбиталната ѝ скорост е най-малка. Това се случва в първите дни на юли. За нашата приблизителна оценка можем да приемем, че Земята се движи около Слънцето равномерно по кръгова орбита. Скоростта ѝ е $v_\text{з}=2\pi a/T_\text{у}$ (1), където $a=1\,\mathrm{AU}$ е радиуса на земната орбита, а $T_\text{у}=1$ година е орбиталния период на Земята.

Може да се използва околоосното въртене на Земята, за да се намали необходимата скорост на изстрелване на кораба спрямо земната повърхност. Той трябва да се изстреля в момента на местно пладне, понеже тогава посоката на линейната скорост на околоосно въртене на точка от земната повърхност е противоположна на посоката на орбиталното движение на Земята около Слънцето. Корабът трябва да се изстреля от екватора, защото там линейната скорост на околоосно въртене на точките от земната повърхност е най-голяма. Тя е $v_\text{е}=2\pi R_\text{з}/T_\text{д}$ (2), където $R_\text{з}=6378\,\mathrm{km}$ е екваториалния радиус на Земята, а $T_\text{д}=23^h56^m$ е продължителността на звездното денонощие. Корабът трябва да се изстреля при зимното или лятното слънцестояние, защото само тогава векторът на скоростта на околоосно въртене на точка от земния екватор в момента на местно пладне и векторът на скоростта на орбиталното движение на Земята около Слънцето сключват ъгъл $180^\circ$ — ефектът от намаляването на необходимата скорост на изстрелване на кораба в резултат на околоосното въртене на Земята е най-голям. Тъй като лятното слънцестояние е по-близо до датата на преминаване на Земята през афелия, най-подходящият момент за изстрелване е между лятното слънцестояние и преминаването на Земята през афелия.

От (1) и (2) получаваме приблизителната оценка за скоростта на кораба:

Времето, за което корабът ще стигне до Слънцето, може да се оцени, като се приеме отсечката, по която той се движи, за елипса с ексцентрицитет 1 и голяма полуос, равна на половината от нейната дължина, т.е. от разстоянието между Земята и Слънцето $a$. Според третия закон на Кеплер, записан за Земята и кораба $a^3/T_\text{у}^2=(a/2)^3/T_\text{к}^2$, където $T_\text{к}$ е периода на „обикаляне“ на кораба по тази „елипса“. И $T_\text{к}=T_\text{у}/[2(2)^{1/2}]$.

Времето за падане на кораба към Слънцето е половината от $T_\text{к}$: $t=T_\text{к}/2=T_\text{у}/[4(2)^{1/2}]$.