Съдържание

НОА 1999, III кръг (национален), 7–12 клас — X–XII.4. 4 (10-12 клас)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1999

ЗАДАЧИ ЗА III КРЪГ НА II НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

Условие

Неочаквано Слънцето губи част от масата си. Вследствие на това Земята променя своята орбита от сегашната, която приемаме за кръгова, на елиптична, като в афелия достига сегашната орбита на Марс. Когато Земята се намира в афелия на новата си орбита, Слънцето отново губи част от масата си. При това, земната орбита става кръгова с радиус, равен на сегашния радиус на орбитата на Марс. Определете каква част от масата си губи Слънцето във всеки от двата случая. Орбитата на Марс приемаме за кръгова с радиус $1.52\ AU$ . Масата на Слънцето е $M_c$ .

Решение

Нека $r_1=1\,\mathrm{AU}$ е радиусът на земната орбита, $r_2=1.52\,\mathrm{AU}$ е радиусът на орбитата на Марс, $v_1$ е скоростта на движение на Земята по сегашната ѝ орбита. Тъй като приемаме орбитата на Земята за кръгова

v_1=(GM_\text{с}/r_1)^{1/2}\qquad(1),

където $G$ е гравитационната константа. След намаляване на масата на Слънцето с $\Delta M_1$ , Земята започва да се движи по елиптична орбита, като в перихелия си има скорост $v_1$ , а в афелия — $v_2$ . В перихелия и афелия векторът на скоростта на Земята е перпендикулярен на нейния радиус-вектор. Следователно, за тези две точки равенството на секторните скорости (втори закон на Кеплер) може да се запише в аналитичен вид $v_1r_1=v_2r_2$ . Това равенство следва и от закона за запазване на момента на импулса. Оттук и от (1) получаваме

v_2=(r_1/r_2)(GM_\text{с}/r_1)^{1/2}\qquad(2).

Пълната механична енергия на Земята в момент, когато тя се намира на разстояние $r$ от Слънцето и има скорост $v$ , е сума от кинетичната $E_k=M_\text{з}v^2/2$ и потенциалната ѝ енергия $E_p=-GM_\text{с}M_\text{з}/r$ , където $M_\text{з}$ е масата на Земята. Пълната енергия на Земята в перихелия и афелия е една и съща, според закона за запазване на механичната енергия:

M_\text{з}v_1^2-G(M_\text{с}-\Delta M_1)M_\text{з}/r_1=M_\text{з}v_2^2/2-G(M_\text{с}-\Delta M_1)M_\text{з}/r_2

Използвайки (1) и (2), получаваме:

\Delta M_1=0.5M_\text{с}(1-r_1/r_2)\qquad(3)

\Delta M_1=0.17M_\text{с}.

При второто намаление на масата на Слънцето с $\Delta M_2$ тя става $M_\text{с}=\Delta M_1-\Delta M_2$ . Земята в този момент е в афелия на орбитата си и скоростта ѝ е $v_2$ . Тя остава да се движи със същата скорост по кръгова орбита с радиус $r_2$ . Следователно, $v_2$ трябва да е равно на кръговата скорост по новата орбита:

v2=[G(Mc-dM1-dM2)/r2]^{1/2}.

От (2) и (3) намираме:

(r_1/r_2)(GM_\text{с}/r_1)^{1/2}=[G(M_\text{с}-\Delta M_1-\Delta M_2)/r_2]^{1/2}

\Delta M_2=\Delta M_1=0.5M_\text{с}(1-r_1/r_2)

\Delta M_2=0.17M_\text{с}.

Справочни данни (7-9 клас)

Справочни данни: Екваториален радиус на Земята - 6378 km, разстояние от Земята до Слънцето - 150 милиона km, звездно денонощие - $23^h56^m04^s$ .

Справочни данни (10-12 клас)

Справочни данни: Разстояние от Земята до Слънцето - 150 милиона km.

Оригинал в Архива: NOA3_1999_problems.pdf · официални решения: NOA3_1999_7-9solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_1999_10-12solutions.pdf