НОА 2001, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1

• ***** 2 min

  В решението: $\Delta T = (\delta / 360^{\circ}).\ 24^{\mathrm{h}} \approx 2^{\mathrm{min}}$.

• ***** Точно половината от слънчевия диск.

• ***** Осветеността намалява, докато диаметърът на колоната стане равен на диаметъра на Слънцето; тогава става равна на нула и остава такава при по-нататъшно нарастване.

Решение. На екватора при равноденствие Слънцето минава през зенита в момента на местното пладне. Слънцето е на огромно разстояние от нас. Затова ще считаме, че, примерно, от най-горната точка от видимия слънчев диск към земната повърхност пада сноп успоредни лъчи, а от най-долната точка на слънчевия диск – друг сноп успоредни лъчи (фиг. 1а). Двата снопа сключват помежду си ъгъл, равен на видимия ъглов диаметър на Слънцето $\delta$. Лъчът $b$, идващ от горния край на слънчевия диск, и минаващ покрай най-западната точка на горния ръб на колоната, ограничава областта CB, където не попадат никакви слънчеви лъчи и която е плътната сянка на колоната. Лъчът $a$, идващ от долния край на слънчевия диск, и минаващ покрай същата точка от ръба на колоната, ограничава областта ВА, където е полусянка. Нека един наблюдател върви към колоната от запад към изток. Докато се намира западно от точка А, той ще вижда целия слънчев диск. Когато достигне точка А, долният край на слънчевия диск ще започне да се скрива. Докато наблюдателят е между точка А и точка В, той ще вижда част от слънчевия диск. Когато стигне до точка В вече и горният край на слънчевия диск ще се скрие зад колоната и по-нататък наблюдателят ще навлезе в плътната сянка на колоната.

Плътната сянка на колоната ще изчезне, когато Слънцето при своето видимо денонощно движение се измести на запад до положението, в което горният край (тук вече ще го наричаме западен край) на видимия слънчев диск застане в зенита и снопът успоредни лъчи от него е перпендикулярен на земната повърхност и успореден на цилиндричната повърхност на колоната (фиг. 1б). В случая разглеждаме само лъча $b_1$, минаващ покрай западната точка на горния ръб на колоната. Лъчът $a_1$, идващ от източния край на слънчевия диск, маркира границата на полусянката на колоната. Колоната ще има само полусянка. Това ще продължи докато Слънцето се измести още малко, така че източният край на слънчевия диск да застане в зенита (фиг.1в) и снопът лъчи от него да е перпендикулярен на земната повърхност. Този път разглеждаме само лъча $a_2$, минаващ покрай източната точка от горния ръб на колоната. Лъчът $b_2$, идващ от западния край на слънчевия диск, очертава границата на полусянката. От този момент нататък колоната пак ще има и плътна сянка, но вече от източната си страна.

Означаваме с $T_1$ момента от време, съответстващ на ситуацията, представена на фиг. 1б, а с $T_2$ – момента, съответстващ на ситуацията на фиг. 1в. Търсеният интервал от време, през който колоната няма плътна сянка, е:

За този интервал Слънцето се е преместило на ъглово разстояние, равно на ъгъла между лъчите $a_1$ от фиг.1б и $a_2$ от фиг.1в (или което е все едно, ъгъла между лъчите $b_1$ и $b_2$). Но този ъгъл е равен на видимия ъглов диаметър на Слънцето $\delta$. Времето, за което Слънцето при видимото си денонощно движение се измества на разстояние $\delta$, е:

Тук $24^{\mathrm{h}}$ е продължителността на слънчевото денонощие.

Точката Р е произволна точка от цилиндричната повърхност на колоната. Казваме, че Слънцето е точно в зенита, когато центърът на видимия му диск е в зенита. Да си представим наблюдател с точкови размери, който е в Р. За него хоризонтът ще бъде равнина, допирателна към цилиндричната повърхност на колоната (фиг. 2).

Зрителен лъч от наблюдателя Р към зенита ще съвпада с правата, в която равнината на хоризонта се допира до колоната. Този лъч сочи също и към центъра на видимия слънчев диск, понеже той е в зенита. Следователно над хоризонта за точка Р ще бъде точно половината от слънчевия диск. Това ще е и частта от него, която осветява точката Р.

Твърдението, че Слънцето в даден момент от време се намира в зенита, строго погледнато е вярно само за една точка от земната повърхност. Казвайки, че Слънцето е в зенита, ние подразбираме, че това се отнася за цялата колона, въпреки, че това е вярно само за оста на колоната. Когато диаметърът на колоната е малък, това приближение би могло да бъде прието. Когато, обаче, диаметърът на колоната съществено нарасне, ситуацията се променя. Тогава, когато Слънцето е в зенита за оста на колоната, продължението на цилиндричната повърхност на колоната ще пресече повърхността на Слънцето в окръжност с радиус, равен на радиуса на колоната. Примерно, когато колоната достигне по диаметър размерите на Земята, в центъра на слънчевия диск ще бъде отсечен кръг с диаметър равен на диаметъра на Земята. От този кръг няма да достига светлина до цилиндричната повърхност на колоната. Когато диаметърът на колоната продължи на расте ще нараства и диаметърът на кръга в центъра на слънчевия диск, който не участва в осветяването на цилиндричната повърхност на колоната ( фиг. 3 ). Ъгловият размер на този кръг ще бъде равен на денонощния паралакс на колоната.

Когато диаметърът на колоната стане равен на диаметъра на Слънцето, диаметърът на кръга, който не участва в осветяването на цилиндричната повърхност на колоната, ще стане равен на диаметъра на Слънцето. Това означава, че Слънцето вече няма да осветява цилиндричната повърхност на колоната. Следователно, при нарастване на диаметъра на колоната, осветеността на цилиндричната ѝ повърхност ще намалява, докато диаметърът на колоната не стане равен на диаметъра на Слънцето. Тогава осветеността, от слънчевите лъчи, ще стане равна на нула и ще остане такава при по-нататъшно нарастване на диаметъра на колоната.