НОА 2001, IV кръг, Старша възраст — Задача 3

• $r_1 \approx 460\ \text{pc}$

  Разстоянието до най-слабите звезди ($15^m$ при $M = 5^m$) е $r = 1000$ pc; $r_1 = r\,(1/10)^{1/3} \approx 460$ pc.

Решение:

Означаваме с $M$ абсолютната звездна величина на звездите и с $m$ видимата звездна величина на най-слабите звезди на снимката. За да намерим разстоянието $r$ до най-слабите звезди, използваме формулата:

Звездите, заснети във всяка част от снимката, принадлежат към област от пространството с форма на пирамида и определен обем (Фиг.5). Земният наблюдател се намира във върха на тази пирамида, а основата ѝ е част от сфера с радиус, равен на разстоянието до най-далечните звезди, които са заснети. Звездите са равномерно разпределени в пространството. Следовтелно броят на зведите в дадена част от снимката е пропорционален на обема на съответната пирамида, който тази част обхваща. Обемът на пирамида с височина $h$ и площ на основата $S$ е:

Нека за простота приемем, че областите от снимката имат малки ъглови размери и можем да пренебрегнем сферичната кривина на основите на съответните пирамиди от пространството, които те обхващат. Също така нека приемем, че изследваните области от снимката са квадрати, с ъглова дължина на страните $\alpha$. Тогава за височини на пирамидите можем да приемем разстоянията до най-далечните звезди, видими в областите. В област на фона на облака това е $r_1$ – разстоянието до облака (понеже той е напълно непрозрачен), а в област извън облака е $r$ – разстоянието до звездите от $15^m$. Линейните размери на страните на основите на двете пирамиди са $\alpha r_1$ и $\alpha r$, площите на тези основи са $S_1 = (\alpha r_1)^2$ и $S = (\alpha r)^2$. Обемите на двете пирамиди са:

Отношението на броя на звездите в тях е:

Оттук, като имаме предвид, че $N_1\,/\,N = 10$, за разстоянието до облака получаваме:

Дори и без пренебрегване на сферичната кривина на основите на въпросните пирамиди, и ако формата на основите им е произволна, при използване на точната формула за обем на сектор от сфера, пак бихме получили, че обемите им са пропоционални на третата степен на съответните разстояния, така че резултатът от решението би бил същият.