НОА 2001, IV кръг, Старша възраст — Задача 1

• Камък 1 (хвърлен напред) изостава – оказва се зад кораба и малко по-високо над земната повърхност; камък 2 (хвърлен назад) изпреварва кораба – оказва се малко пред него и малко по-близо до Земята; камък 3 (хвърлен настрани) се оказва малко назад и отклонен встрани от орбиталната равнина, по-близо до кораба от първия камък.

  Разстоянията са малки, тъй като скоростта на изхвърляне (m/s) е много по-малка от орбиталната скорост (km/s).

Решение:

Означаваме с $\mathbf{v_k}$ скоростта на кораба относно Земята, с $\mathbf{v}$ скоростта на изхвърляне на камъните относно кораба, с $\mathbf{v_1}$, $\mathbf{v_2}$ и $\mathbf{v_3}$ – скоростите на трите камъка относно Земята в момента на изхвърляне. Корабът се движи по кръгова орбита със скорост $v_k = (GM_\oplus\,/\,r)^{1/2}$, където $G$ е гравитационната константа, $M_\oplus$ е масата на Земята, $r$ е радиусът на орбитата на кораба.

В момента на изхвърлянето на първия камък (Фиг.1), неговата скорост относно Земята ще бъде:

Понеже скоростта на камъка е по-голяма от кръговата скорост $v_k$, то той ще се движи по елиптична орбита с перигей точката на изхвърляне. Голямата полуос на тази елипса $a_1$ е по-голяма от радиуса $r$ на орбитата на кораба. Съгласно III закон на Кеплер:

където $T_1$ и $T_k$ са съответно орбиталните периоди на камъка и кораба. Следователно $T_1 > T_k$ и това означава, че след една обиколка на кораба по орбитата камъкът няма да е завършил една обиколка по своята орбита. В момента на връщане на кораба в същата точка, камъкът ще се окаже на известно разстояние зад него и малко по-високо над земната повърхност в сравнение с кораба (положение 1 на Фиг.1). Разстоянието ще бъде малко, понеже скоростта на кораба е от порядъка на километри в секунда, а скоростта на изхвърляне на камъка относно кораба е от порядъка на метри в секунда и следва, че:

Началната скорост на втория камък (Фиг.2) относно Земята ще бъде:

Камъкът ще се движи по елипса с апогей в точката на изхвърляне. Голямата полуос на тази елипса ще бъде $a_2 < r$. Следователно орбиталният период на камъка ще е $T_1 < T_k$ . Това значи, че след една обиколка и завръщане на кораба в същата точка, камъкът ще е успял да направи малко повече от една обиколка по своята орбита и ще се окаже малко пред кораба и малко по-близо до Земята (положение 2 на Фиг.2).

Скоростта на третия камък (Фиг.3) относно Земята ще бъде:

От Питагоровата теорема:

Понеже $\mathbf{v} \perp \mathbf{v_k}$ , равнината на орбитата на камъка ще сключва ъгъл $\alpha$ с орбиталната равнина на кораба:

Освен това $|\mathbf{v_3}| > |\mathbf{v_k}|$ и орбитата ще е елипса с перигей в точката на изхвърляне и голяма полуос $a_3 > r$. Орбиталният период на камъка ще е $T_3 > T_k$ . След една обиколка на кораба камъкът ще се окаже малко назад и отклонен вляво (в случай, че е изхвърлен надясно) от кораба, ако гледаме по посока на движението на кораба (положение 3 на Фиг.3). Понеже $|\mathbf{v_3}| < |\mathbf{v_1}|$ , то разликата между $T_3$ и $T_k$ ще е по-малка отколкото разликата между $T_1$ и $T_k$ и третият камък ще е малко по-близо до кораба, отколкото първия камък. Също така $a_3 < a_1$ .