Съдържание

НОА 2004, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2004

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · VII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 2 април 2004 г. · Ученици 11-12 клас · 2 април 2004 г.

Условие

Глобулите са сгъстявания от междузвездна материя, на които предстои да се превърнат в звезди. Характерната плътност на веществото в тях е $10^{-16}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Оценете времето, за което една глобула се превръща в звезда. Отчитайте само гравитационното взаимодействие между частиците.

Отговори

Решение

Да си представим глобула със сферична форма и радиус $R$ . Тъй като можем да не отчитаме други взаимодействия между съставящите я частици, освен гравитационното, то времето за образуване на звезда от глобулата може да се оцени, като се пресметне времето $t$ за свободно падане на най-отдалечените частици от глобулата до нейния център. Понеже новообразуваната звезда има размер, много по-малък от първоначалния размер на глобулата, ние го пренебрегваме и считаме звездата за точка. Върху една най-външна периферна частица от глобулата всичкото останало вещество действа със сила на привличане, равна на силата, с която това вещество би действало на частицата, ако цялото беше съсредоточено в центъра на глобулата. Времето $t$ за свободно падане на такава частица до центъра можем да пресметнем, като си представим, че частицата се движи около този център по много силно сплесната елипса с голяма полуос $a$ , равна на половината от разстоянието $r$ между частицата и центъра, и малка полуос, практически равна на нула. Орбиталният период $T$ на частицата по такава траектория можем сда намерим с помощта на III закон на Кеплер:

\frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{GM}{4\pi^{2}}

където $G$ е гравитационната константа, а $M$ е масата на глобулата.

M = \frac{4}{3}\rho\pi R^{3}

Тук $\rho$ е плътността на веществото в глобулата. Като имаме предвид, че $a = R/2$ , а търсеното време $t = T/2$ , окончателно получаваме:

t = \sqrt{\frac{3\pi}{32G\rho}}

t \approx 200000\ \text{години}

Справочни данни:

Радиус на Земята	6378 km
Радиус на орбитата на Юпитер	5.2 AU
Гравитационна константа	$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^{3}/kg.s^{2}}$

Оригинал в Архива: NOA3_2004_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2004_11-12solutions.pdf