Съдържание

НОА 2004, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2004

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · VII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 2 април 2004 г. · 2 април 2004 г.

Условие

В пустинно царство на екватора живял цар. Вражеска войска завладяла царството, а царят бил хвърлен в дълбок кладенец. В края на първата нощ той видял през кладенеца любимата си звезда Садалмалик (α Водолей, “щастливата звезда на царя”). В същия миг му се явил добрият дух и му казал, че ще бъде спасен, след като види Садалмалик в 333 нощи. После изчезнал в прашна вихрушка, от която обаче се събудил дремещият наблизо зъл дух. Кихайки ядосано, той казал на царя, че няма да издържи в кладенеца повече от 555 дни. Отначало царят не се разтревожил от това, но изведнъж при него се прокраднал духът на съмнението, който останал в кладенеца и не му давал покой. Как мислите, щастлива ли се е оказала за царя звездата Садалмалик?

Отговори

Решение

За да види царят звездата Садалмалик през дълбокия кладенец, тя трябва да минава близо до зенита. Царството се намира на земния екватор. Това означава, че звездата е близо до небесния екватор. Царят я е видял за първи път в края на първата нощ. Звездата Садалмалик е от 3-та звездна величина – не е слаба, но не е и особено ярка. Трудно е да предположим при какви условия на осветеност на небето тя би могла да се наблюдава от дъното на дълбок кладенец. За по-голяма сигурност нека приемем, че звездата става видима преди началото на гражданския полумрак, т.е. когато Слънцето е на не-по-малко от $6^{\circ}$ под хоризонта. Следователно в края на първата нощ, когато царят за първи път е видял звездата, Слънцето се е намирало най-малко на $96^{\circ}$ източно от нея. Поради движението на Слънцето по еклиптиката от запад на изток, в следващите нощи Слънцето ще се отдалечава все по на изток от звездата и тя ще се появява в зенита за царя все по-рано през нощта. Това ще продължи докато Слънцето не стигне до положението, което е на $96^{\circ}$ западно от звездата и тогава тя за последен път ще бъде видима за царя вечер, малко след залеза на Слънцето. Целият този период на видимост на звездата ще продължи толкова време, колкото е необходимо на Слънцето, за да измине по еклиптиката дъга от $180^{\circ} - 2 \times 6^{\circ} = 168^{\circ}$ . Това време е: $365.25 \times 168^{\circ}/360^{\circ} \approx 170$ денонощия. Царят ще може да види звездата в 170 нощи, ако, разбира се някои от тях не се случат облачни, но в пустинята това става изключително рядко. Друго условие е царят да е бил хвърлен в кладенеца наистина в ден от годината, който се явява първи от този 170-дневен период на видимост на звездата. След това ще последва период от $365 - 170 = 195$ денонощия, през който царят няма да вижда звездата Садалмалик. После ще има нов период на видимост от 170 денонощия. На царя ще е му остава да види любимата си звезда в още $333 - 170 = 163$ нощи, което означава, че новият период на видимост ще му стигне и дори ще му останат още 7 резервни нощи. Но дали ще може да преживее целия този период? Общо в него има $170 + 195 + 163 = 528$ денонощия. Според предсказанието на злия дух царят ще издържи 555 дни в кладенеца. Следователно по всяка вероятност звездата Садалмалик наистина ще се окаже щастлива за него и той ще бъде спасен. Ако си спомняте задачата от II кръг на олимпиадата, всичко зависи от астрономическите знания на принца, който се намира в шатрата.

Оригинал в Архива: NOA3_2004_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2004_7-8solutions.pdf