НОА 2004, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · VII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 2 април 2004 г. · 2 април 2004 г.
Условие
Периодична комета има орбита около Слънцето с перихелий между орбитите на Меркурий и Венера и афелий между орбитите на Уран и Нептун. Считайте орбитите на тези планети за кръгови. Нарисувайте схема с орбитите на четирите планети. Върху нея нарисувайте орбитите на кометата, при които тя би имала максималния и минималния възможен орбитален период. Нарисувайте орбитите на кометата, при които тя би имала максималната и минималната възможна скорост в перихелий. Нарисувайте орбитите, при които кометата би имала максималната и минималната възможна скорост в афелий. Обяснете вашето решение.
Отговори
- Максимален орбитален период — орбита 1 (перихелий на орбитата на Венера, афелий на орбитата на Нептун); минимален орбитален период — орбита 2 (перихелий на орбитата на Меркурий, афелий на орбитата на Уран); максимална скорост в перихелий — орбита 3 (перихелий на орбитата на Венера, афелий на орбитата на Нептун); минимална скорост в перихелий — орбита 4 (перихелий на орбитата на Меркурий, афелий на орбитата на Уран); минимална скорост в афелий — орбита 3; максимална скорост в афелий — орбита 4.
Решение
Съгласно третия закон на Кеплер:
където а и са голямата полуос на орбитата на кометата и нейният орбитален период, а и са радусът на земната орбита и орбиталният период на Земята.
Оттук следва, че орбиталният период на кометата ще е най-голям, когато тя се движи по орбита с най-голямата възможна голяма полуос. Това е орбитата 1 с перихелий върху орбитата на Венера и афелий върху орбитата на Нептун. Минимален орбитален период ще се получи, ако кометата се движи по орбита 2 с перихелий върху орбитата на Меркурий и афелий върху орбитата на Уран.
Кометата ще има максимална скорост в перихелий, ако се движи по орбита 3. Очевидно е, че перихелийната скорост на кометата по орбита 3 би била по-голяма, отколкото перихелийната скорост по орбита 2. По орбита 3 кометата достига до по-далечно разстояние от Слънцето в афелий, отколкото по орбита 2. Перихелийната скорост на кометата по орбита 3 би била по-голяма и от перихелийната скорост по орбита 1. Орбитите 1 и 3 в най-далечната си точка от Слънцето достигат до орбитата на Нептун. Но дотам е по-лесно да се изпрати тяло (в случая кометата) от по-далечно начално разстояние от Слънцето (перихелий, лежащ върху орбитата на Венера), отколкото от по-близката околност на Слънцето.
Орбитата, при която кометата би имала най-малка перихелийна скорост, е орбита 4.
Орбита 3 е същевременно и орбитата, при която кометата би имала минималната възможна скорост в афелий. Да сравним афелийната скорост на кометата при движение по орбита 3 с тази по орбита 1. При по-малка скорост на кометата Слънцето би трябвало по-силно да я отклонява навътре от кръговата орбита на Нептун и кометата по-стремително да “пада” към централните части на Слънчевата система.
От своя страна орбита 4 е същевременно и орбитата, по която кометата би имала максимална афелийна скорост.
Оригинал в Архива: NOA3_2004_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2004_7-8solutions.pdf