НОА 2005, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1

• Звездата е бяло джудже — долна лява част на диаграмата Херцшпрунг-Ръсел (Сириус B); разстояние r = 2,64 pc, светимост ~400 пъти по-слаба от слънчевата, радиус ~370 пъти по-малък от слънчевия.

Решение: Разстоянието до звездата е

където $p$ е паралаксът в дъгови секунди, а $r$ се измерва в парсеци. За разстоянието получаваме $r$ = 2.64 парсека, което означава, че това е една от най-близките до нас звезди. Видимият блясък на звездата, обаче, е много слаб.

Звездната ѝ величина $m$ = $8.44^{\mathrm{m}}$ показва, че тя не се вижда с невъоръжено око. Следователно светимостта на звездата е много пъти по-ниска от тази на Слънцето. Същевременно виждаме, че звездата е много гореща – температурата ѝ е Т = 25000 K. Оттук можем да направим извода, че звездата се намира в долната лява част на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел и представлява бяло джудже. Бихме могли да се досетим дори, че звездната система HD 48915 е Сириус и неговият спътник.

Да сравним светимостта на бялото джудже $L$ със светимостта на Слънцето $L_{S}$. Разстоянието от Земята до Слънцето е $r_{s}$ = 1 AU. Пресмятаме и разстоянието до звездата в астрономически единици:

Да намерим видимата звездна величина $m'$, която звездата би имала, ако се намираше на разстояние от нас 1 AU. С $E$ означаваме осветеността, създавана на Земята от звездата, когато е на разстояние $r$ от нас, а с $E'$ – осветеността, която тя би създавала, ако беше на разстоянието от нас до Слънцето $r_{s}$, и пресмятаме:

Съгласно формулата на Погсон:

За светимостите на звездата и Слънцето можем да напишем:

където $m_{S} = -26.74^{\mathrm{m}}$ е видимата звездна величина на Слънцето.

Следователно звездата е около 400 пъти по-слабо излъчваща от Слънцето.

А сега да сравним радиусите на звездата и на Слънцето. Приемайки, че Слънцето излъчва като абсолютно черно тяло, можем приблизително да изразим неговата светимост $L_{S}$ чрез температурата му $T_{S}$ = 5800 K и радиуса $R_{S}$ със следното съотношение:

където $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Аналогична формула можем да напишем и за звездата, означавайки с $T$ и $R$ нейната температура и нейния радиус:

Като разделим почленно тези съотношения, получаваме:

Звездата е около 370 пъти по-малка от Слънцето по размери, според нашата оценка. Обект с такива размери може да бъде бяло джудже.

По-точно определеният радиус на бялото джудже – спътник на Сириус, се оказва около 100 пъти по-малък от този на Слънцето. Получената тук от нас оценка е доста по-различна, макар и да е от същия порядък. Ето някои причини за неточността на нашия резултат:

• Използвайки формулите (1) и (2) за връзката между светимостите, радиусите и температурите на бялото джудже и Слънцето, ние приемаме, че всеки от тези обекти излъчва като абсолютно черно тяло;
• В същите две формули по принцип трябва да фигурира болометричната светимост (светимостта в целия електромагнитен спектър), а нашите определения на светимостите се основават на звездните величини на звездите във видимата част от спектъра.