НОА 2005, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4

• $m \approx 5{,}25^\mathrm{m},\quad m' \approx 4{,}49^\mathrm{m}$

  Числени стойности: $m \approx 5.25^\mathrm{m}$ (максимум, нормално разстояние) и $m' \approx 4.49^\mathrm{m}$ (минимум, двойно по-близко), с точност $\pm 0.02^\mathrm{m}$.

Решение: Затъмнителната променлива има максимален блясък, в моменти когато при движението си една около друга звездите са разположени така, че до нас да достига светлина и от двете, без да се закриват. Тогава блясъкът на двойната звезда е равен на сумата от блясъците на двете звезди. Променливата има минимален блясък, когато едната звезда е закрила напълно другата. Тогава блясъкът на двойната звезда е равен на блясъка на една от компонентите. Следователно блясъкът на променливата в максимум е два пъти по-силен от блясъка й в минимум. Ако в момента, когато е в минимум, си представим променливата приближена на двойно по-малко разстояние от нас, то видимият й блясък ще се увеличи 4 пъти в сравнение с блясъка, който би имала на нормалното си разстояние от нас. Това е така, защото видимият блясък на обектите е обратно пропорционален на квадрата на разстоянието им от нас. Окончателният извод е, че променливата звезда в минимум, приближена на двойно по-малко разстояние от нас, ще бъде два пъти по-ярка, отколкото същата променлива в максимум, но на обичайното си разстояние от нас.

Нека осветеността, която всяка от компонентите на двойната звезда създава за земния наблюдател, да е $E_1$ . Осветеността, създавана от двойната звезда в максимум на блясъка, ще бъде $E = 2E_1$. Използвайки формулата на Погсон, за звездните величини на една от компонентите $m_1 = 6^\mathrm{m}$ и на двойната звезда в максимум $m$ можем да напишем:

Променливата звезда в минимум създава за земния наблюдател осветеност, равна на осветеността, създавана от една от компонентите, т.е. $E_1$. На двойно по-близко разстояние от нас тя ще създава осветеност $4E_1$. Нека означим звездната й величина в този случай с $m'$. Отново по формулата на Погсон получаваме: