Съдържание

НОА 2005, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Най-бързият метеор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2005

VIII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 15 юли 2005 г., гр. Стара Загора, ученици старша възраст · 15 юли 2005 г.

Условие

1 задача. За младия астроном Жельо Желев, от всички космически обекти, принадлежащи към Слънчевата система, най-интересни са метеорните тела. Той си задава въпроса колко бърз може да е най-бързият метеор.

Опитайте се де пресметнете възможно най-точно максималната скорост, с която метеорно тяло може да навлезе в земната атмосфера. При какви условия, кога и къде такова метеорно тяло може да предизвика най-бърз метеор? Пресмятанията направете, като отчетете всички фактори. Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Отговори

Решение

Решение: Едно метеорно тяло би имало максимална линейна скорост относно Земята, ако в момента на срещата му с нашата планета са изпълнени следните условия:

Тялото се движи относно Слънцето с максималната възможна скорост. На разстояние от Слънцето, равно на разстоянието $r$ до Земята, това е параболичната скорост:

v_P = \sqrt{\frac{2\gamma M}{r}}

където $M$ е масата на Слънцето. Тя би била най-голяма на най-малко разстояние до Слънцето, т.е. когато Земята е в перихелий. Тогава:

v_P = \sqrt{\frac{2\gamma M}{r_0\left(1-e\right)}}

където $r_0$ е средното разстояние от Земята до Слънцето, равно на една астрономическа единица, а $e$ е ексцентрицитетът на земната орбита.

Тялото трябва да се движи в посока обратна на орбиталното движение на Земята, което се извършва със скорост:

v_3 = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}\cdot\frac{1+e}{1-e}}

При това скоростта на метеорното тяло относно Земята ще е:

v_M = v_P + v_3.

Но докато пада към Земята, метеорното тяло ще изпитва нейното гравитационно въздействие и ще се ускори допълнително до скорост $v_M'$ . За да я намерим, използваме закона за запазване на енергията на метеорното тяло. На голямо разстояние от Земята неговата енергия ще се определя само от кинетичната енергия на движение със скорост $v_M$ , а в момента, когато навлезе в земната атмосфера, енергията му ще бъде сума от кинетичната енергия на движение със скорост $v_M'$ и потенциалната енергия в близост до земната повърхност. Тогава:

\frac{v_M^{\,2}}{2} = \frac{v_M'^{\,2}}{2} - \frac{\gamma M_3}{R}

v_M' = \sqrt{v_M^{\,2} + \frac{2\gamma M_3}{R}}

Окончателно получаваме:

v_M' = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\gamma M}{r_0\left(1-e\right)}} + \sqrt{\frac{\gamma M}{r_0}\cdot\frac{1+e}{1-e}}\right)^{2} + \frac{2\gamma M_3}{R}}

v_M' = \sqrt{\frac{\gamma M}{r_0\left(1-e\right)}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+e}\right)^{2} + \frac{2\gamma M_3}{R}}

v_M' \approx 73.82\ \text{km/sec}

Схема към решението на задача 1: метеор в зенита на наблюдателя, движещ се успоредно на земната повърхност на височина h, в сравнение с метеор, видян под наклон.

За да бъде видимата ъглова скорост на метеора максимална, той трябва да е в зенита на наблюдателя. В противен случай метеорът би се появил на по-далечно линейно разстояние от наблюдателя и ъгловата му скорост би била по-малка. Метеорът трябва да е ориентиран успоредно на земната повърхност, т.е. радиантът му трябва да е на хоризонта. Иначе наблюдателят би виждал проекция на метеора и съответно по-малка ъглова скорост.

Схема към решението на задача 1: метеорното тяло се движи срещу орбиталното движение на Земята, а точката на наблюдателя се върти в същата посока.

Най-бърз метеор би се видял в полунощ над екватора. Тогава към неговата скорост би се добавила и линейната скорост на въртене на екваториална точка от земната повърхност. Тя е около 0.5 km/sec, така че скоростта на метеора би надвишила 74 km/sec. Не е нужно да отчитаме наклона на екватора към еклиптиката, защото времето от годината трябва да е около преминаването на Земята през перихелия. Това е близо до лятното слънцестоене, когато в полунощ за наблюдател на земния екватор метеорът в зенита би трябвало да се движи успоредно както на еклиптиката, така и на небесния екватор.

Ако наблюдаваме по-бърз метеор от този, то бихме направили извода, че той се предизвиква от метеорно тяло, което не принадлежи на Слънчевата система, а идва от междузвездното пространство и се движи относно Слънцето по хипербола със скорост по-голяма от параболичната скорост.

Оригинал в Архива: NOA4_2005_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2005_STsolutions.pdf