НОА 2006, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 13 май 2006 г. · Ученици 7-8 клас · 13 май 2006 г.
Внимание: Бележка към темата
В печатния ключ множителите в таблицата за спътниците на Юпитер се различават от мащабите в съседния текст. И двете са запазени според източника.
Условие
Вие сте участници в бъдеща експедиция до Титан – най-големият спътник на Сатурн, обвит в плътна азотна атмосфера. Космическият кораб каца и първото, което виждат космонавтите, е светлият кръгъл диск на Сатурн, прозиращ през метановите облаци. В продължение на 30 земни денонощия членовете на екипажа изследват повърхността на спътника и без прекъсване наблюдават от площадката до кораба Сатурн около зенита – през нощта във видима светлина, през деня в инфрачервена.
Пресметнете приблизително общото време, през което ще можете да осъществявате радиовръзка със Земята.
Приемете, че зрителният лъч от Земята лежи в равнината на орбитата на Титан около Сатурн. Сатурн е в опозиция. За периода на експедицията, орбиталното преместване на планетата, както и движението на Земята, може да пренебрегнете.
Справочни данни:
Орбитален период на движение на Титан около Сатурн – 15.945 денонощия
Радиус на орбитата на Титан около Сатурн – 1 222 000 км
Радиус на Сатурн – 60 268 км
Отговори
15.444 земни денонощия
2t₀ ≈ 15.444 земни денонощия.
Решение
Нека отбележим с А мястото на кацане на експедицията. Космонавтите наблюдават от това място Сатурн винаги около зенита.. Следователно орбиталният период на Титан е равен на периода на околоосното му въртене, а оста му е почти перпендикулярна на орбитата му около Сатурн. Така този спътник е винаги обърнат с една и съща страна към планетата, а експедицията е кацнала около центъра на видимия от Сатурн диск на Титан.
Радиовръзката със Земята е възможна в интервалите от време, когато Земята е над хоризонта за мястото на експедицията. Както се вижда от рисунката, това е изпълнено през половината от всеки орбитален период T на Титан. Но зрителният лъч от Земята лежи в орбиталната равнина на Титан, а Сатурн е в опозиция. Ето защо, през част от това време Титан ще се закрива от Сатурн за земния наблюдател.
Скоростта на движение на Титан по неговата орбита е:
където r е радиусът на орбитата на Титан. Времето, за което Титан е закрит от Сатурн за наблюдател от Земята, е:
където R е радиусът на Сатурн. Накрая за времето от един орбитален период на Титан, през което радиовръзката със Земята е възможна, получаваме:
Общият престой на експедицията на Титан е 30 земни денонощия, или малко по-малко от два орбитални периода на спътника. При кацането космонавтите са видели светлия кръгъл диск на Сатурн. Следователно, когато са кацнали там, Сатурн е бил обърнат към спътника с огрятата си от Слънцето страна (положение 1 на фигурата). Местното време е съответствало на средата на нощта за Титан, а също и на средата на неблагоприятния за радиовръзка със Земята интервал. Оттук заключаваме, че за време около 30 земни денонощия космонавтите са могли да се възползват от два пълни интервала от време t₀, в които връзката със Земята е била възможна. Общото време за връзка със Земята е било 2t₀ ≈ 15.444 земни денонощия.
Оригинал в Архива: NOA3_2006_7-8problems.pdf · решение от архива: NOA3_2006_7-8solutions.pdf