Съдържание

НОА 2006, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Спектрално двойната звездна система p от Корабни платна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

IX Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, практическа задача, ученици старша възраст · 15 юли 2006 г.

Условие

Двойнствеността на спектрално двойните звезди се установява чрез спектрални наблюдения. В таблицата са дадени данни за лъчевите скорости на компонентите на спектрално двойната звездна система $p$ от Корабни платна.

Изследвайки кривата на лъчевите скорости, покажете приблизително как са ориентирани орбитите на компонентите й спрямо наблюдател на Земята, като приемете, че зрителният лъч лежи в орбиталната равнина. Изчислете масите на двете компоненти в единици слънчеви маси.

No	T	$V_1$ , km/s	$V_2$ , km/s	No	T	$V_1$ , km/s	$V_2$ , km/s
1	$0^{d}\,00.0^{h}$	23.1	13.2	11	$3^{d}\,18.6^{h}$	26.4	8.2
2	$0^{d}\,14.4^{h}$	6.6	39.6	12	$4^{d}\,18.8^{h}$	36.3	-3.3
3	$0^{d}\,20.5^{h}$	1.2	52.8	13	$5^{d}\,21.5^{h}$	39.6	-6.6
4	$1^{d}\,06.8^{h}$	-19.8	85.8	14	$6^{d}\,20.1^{h}$	37.9	-9.9
5	$1^{d}\,11.9^{h}$	-39.6	98.7	15	$8^{d}\,04.8^{h}$	36.3	-3.3
6	$1^{d}\,19.5^{h}$	-46.2	92.4	16	$9^{d}\,09.5^{h}$	26.4	8.2
7	$1^{d}\,23.2^{h}$	-36.3	72.6	17	$9^{d}\,19.8^{h}$	23.1	13.2
8	$2^{d}\,07.4^{h}$	-4.9	42.9	18	$10^{d}\,06.1^{h}$	14.9	23.1
9	$2^{d}\,15.6^{h}$	9.9	33.1	19	$10^{d}\,15.2^{h}$	3.3	36.3
10	$3^{d}\,01.8^{h}$	16.5	23.2	20	$11^{d}\,02.5^{h}$	-19.8	62.7

Отговори

Решение

Решение:

Построяваме кривите на изменеие на лъчевите скорости на двете компоненти на системата. Виждаме, че на високия остър пик на лъчевата скорост на компонентата 1 съответства дълбок стръмен спад на лъчевата скорост на компонентата 2. На полегатия плавен спад на лъчевата скорост на звездата 1 съответства полегато плавно увеличение при звездата 2. Това се дължи на факта, че около моментите на минимумите и максимумите на лъчевите скорости направлението на действителните скорости на звездите е близко до направлението на зрителния лъч от земния наблюдател. Освен това, острите пикове и спадове отразяват бързото и силно нарастване на радиалната компонента на скоростта на всяка от звездите около перицентъра на нейната орбита относно центъра на масите на системата. Полегатите пикове и спадове отразяват движението на компонентите около апоцентровете на техните орбити. Симетричността на пиковете и спадовете говори за това, че всъщност скоростите на звездите в самите перицентрове и в апоцентровете на техните орбити практически съвпадат по направление със зрителния лъч. Следователно големите оси на елиптичните орбити на звездите са разположени перпендикулярно на зрителния лъч от земния наблюдател. Зрителният лъч лежи в равнината на орбитите. Следователно лъчевите скорости в перицентровете и апоцентровете на елиптичните орбити на звездите, измерени по върховите стойности на графиката, са равни на действителните скорости на звездите в тези точки.

Две пресичащи се елипси с обща точка — центъра на масите, отбелязан с точка, и хоризонтална ос през тях; под тях вертикална стрелка нагоре с надпис „Зрителен лъч от земния наблюдател“.

Прекарваме хоризонтална линия през точките, където двете графики на лъчевите скорости се пресичат. Нивото на тази линия определя лъчевата скорост, с която се движи центърът на масите на двойната звездна система относно нас. Тя е $v_C = 20$ км/с. Когато определяме лъчевата скорост на коя да е от звездите в даден момент чрез измерване и отчитане по графиката, от тази измерена стойност винаги вадим $v_C$ , за да получим лъчевата скорост на звездата относно центъра на масите.

Означаваме с $v_{p1}$ , $v_{a1}$ , $v_{p2}$ , $v_{a2}$ скоростите в перицентъра и в апоцентъра съответно на зведата 1 и на звездата 2. От измерванията, като приведем стойностите към движение относно центъра на масите на системата, получаваме:

\begin{aligned} v_{p1} &= 80 \ \text{км/с}\\ v_{a1} &= 30 \ \text{км/с}\\ v_{p2} &= 65 \ \text{км/с}\\ v_{a2} &= 20 \ \text{км/с} \end{aligned}

Отношението на масите на двете звезди $M_1$ и $M_2$ е:

n = \frac{M_1}{M_2} = \frac{v_{p2}}{v_{p1}} \approx 0.8 \qquad (1)

Разглеждаме движението примерно на звездата 2 относно звездата 1. В координатна система, в която звездата 1 е неподвижна, звездата 2 описва около нея относителна елипса със следните параметри:

\begin{aligned} r_p &= r_{p1} + r_{p2}\\ r_a &= r_{a1} + r_{a2}\\ a &= \left(r_{p1} + r_{p2}\right)\big/ 2 \end{aligned}

Елипса с голяма ос, върху която е отбелязана с точка звездата 1 близо до левия връх; отсечката от левия връх до звездата е означена с $r_p$, отсечката до десния връх — с $r_a$, а цялата ос отдолу със стрелки — с $2a$.

Скоростите на движение на звездата 2 относно звездата 1 в перицентъра и апоцентъра на относителната елипса са съответно:

v_p = v_{p1} + v_{p2} = 145 \ \text{км/с} \qquad (2)

v_a = v_{a1} + v_{a2} = 50 \ \text{км/с} \qquad (3)

Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma\left(M_1 + M_2\right)}{4\pi^2}

Орбиталния период определяме също по графиката: $T = 9.8$ денонощия. Въвеждаме следното означение:

v_0 = \sqrt{\frac{\gamma\left(M_1 + M_2\right)}{a}} \qquad (4)

Това е скоростта, с която звездата 2 би се движила по кръгова орбита с радиус $a$ около звездата 1. Тогава:

\frac{a^2}{T^2} = \frac{v_0^{\,2}}{4\pi^2} \qquad (5)

От II закон на Кеплер: $v_p r_p = v_a r_a$ , и от формулата:

v_p = v_0 \sqrt{\frac{r_a}{r_p}}

като използваме (2) и (3), определяме:

v_0 = \sqrt{v_p v_a} = 85.15 \ \text{км/с}

Оттук и от равенствата (5), (4) и (1) намираме последователно:

a = \frac{v_0 T}{2\pi} \approx 11.48 \times 10^{6} \ \text{км}

M_1 + M_2 = \frac{a v_0^{\,2}}{\gamma}

M_2 = \frac{a v_0^{\,2}}{\gamma\left(n + 1\right)} \approx 0.70 \times 10^{30} \ \text{кг} \approx 0.35 \ \text{сл. маси}

M_1 = n M_2 \approx 0.55 \times 10^{30} \ \text{кг} \approx 0.28 \ \text{сл. маси}

Оригинал в Архива: NOA4_2006_STprak-prob.pdf · официални решения: NOA4_2006_STprak-sol.pdf