Съдържание

НОА 2007, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Стълбата до геостационарна орбита

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

Х Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици от 11-12 клас · 12 май 2007 г.

Условие

Вие сте на екватора. Представете си, че там е построена вертикална стълба с височина 100 000 км над земната повърхност, която преминава през масивна космическа станция на геостационарна орбита.

Вие тръгвате нагоре по стълбата. Как ще се променя теглото ви, докато се движите по нея?

В кои участъци от стълбата ще ви се налага “да се изкачвате” и в кои “да слизате”?

Какво ще се случи ако в най-отдалечената точка от земната повърхност се пуснете от стълбата?

Отговори

Решение

Решение:

Когато се изкачваме по стълбата над повърхността на Земята, теглото ни ще зависи от силата на привличане на Земята. На разстояние $r_1$ от центъра на Земята тя ще бъде:

F\left(r_1\right) = \frac{\gamma M m}{r_1^{\,2}}

където $\gamma$ е гравитационната константа, $m$ е нашата маса, $M$ е масата на Земята. С отдалечаването от земната повърхност теглото ни ще става все по-малко. Да не забравяме, обаче, че стълбата е фиксирана към Земята и следователно се върти заедно с нея, при това тя трябва да се намира на екватора. Колкото по-голямо става разстоянието ни от Земята, толкова по-голяма става центробежната сила, която ни действа поради въртенето. Теглото ни G ще бъде разликата между земната сила на привличане и тази центробежна сила $F_{cf}$ :

G = F\left(r_1\right) - F_{cf}

F_{cf} = \omega^2 r_1 = \frac{4\pi^2 r_1}{T^2}

където $\omega$ е ъгловата скорост на околоосно въртене на Земята, а $T = 23^h56^m$ е периодът на това въртене. При изкачването нагоре тази сила става все по-съществена и при достигане до геостационарната космическа станция тя се изравнява със силата на привличане на Земята. По определение геостационарният спътник се движи около Земята по екваториална орбита с период, равен на периода на околоосно въртене на нашата планета и така сякаш «виси» над една и съща точка от земната повърхност. Радиуса на орбитата $r_{gs}$ намираме от съотношението:

\frac{\gamma M}{r_{gs}^{\,2}} = \frac{4\pi^2 r_{gs}}{T^2}

r_{gs} = \sqrt[3]{\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}} \approx 42\,230\ \text{км}

Тук използваме за масата на Земята $M \approx 6\times10^{24}$ кг. Като имаме предвид земния радиус $R \approx 6370$ км, пресмятаме, че геостационарната орбита се намира на около 35860 км над земната повърхност, а височината на нашата стълба е $h = 100\,000$ км. Ако продължим да се изкачваме и по-нагоре от станцията, центробежната сила ще става все по-голяма от силата на земно притегляне.

И така, докато се изкачваме нагоре по стълбата от земната повърхност, отначало за нас посоката нагоре ще бъде от Земята към станцията и ще имаме усещането, че се качваме. С височината ще ставаме все по-леки. При достигане до геостационарната станция теглото ни ще стане нула. Още по-нагоре центробежната сила ще надвишава силата на земно притегляне и за нас посоката нагоре ще се обърне към Земята – т.е., отдалечавайки се от Земята, ние ще имаме усещането, че «слизаме» надолу по стълбата.

Когато достигнем края на стълбата, ние ще имаме линейна скорост, равна на скоростта на въртене на крайната точка от стълбата около земната ос:

v = 2\pi\left(h+R\right)/T \approx 7.75\ \text{км/сек}

Тази скорост ще бъде доста по-голяма от кръговата скорост на обикаляне на тяло около Земята на същата височина, но дали ще бъде по-голяма и от параболичната скорост $v_p$ ?

v_p = \sqrt{\frac{2\gamma M}{h+R}} \approx 2.74\ \text{км/сек}

Тъй като параболичната скорост се оказва по-малка от нашата, то като се пуснем от стълбата, ние ще започнем да се движим по хиперболична орбита и ще напуснем завинаги Земята.

Оригинал в Архива: NOA3_2007_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2007_11-12solutions.pdf