Съдържание

НОА 2008, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · III кръг · 10 май 2008 г. · 10 май 2008 г.

Условие

Телата в Слънчевата система, които се намират на различни средни разстояния от Слънцето, имат различни сидерични периоди на обикаляне около него. Нарисувайте качествено как би изглеждала графиката на изменение на синодичния период на телата с увеличаване на средното им разстояние до Слънцето. За да представите по-добре графиката, пресметнете сидеричния период и съответно разстоянието до Слънцето за няколко характерни стойности на синодичния период.

Отговори

Решение

Нека разгледаме случая на тяло, чието средно разстояние до Слънцето е по-малко от радиуса на земната орбита. Ако неговият сидеричен период на обикаляне около Слънцето е $T$ , а орбиталният период на Земята е $T_o$ , то за синодичния период $T'$ на тялото можем да напишем:

1/T' = 1/T - 1/T_o

T' = TT_o / (T_o - T) \qquad (1)

С отдалечаване на тялото от Слънцето, съгласно III закон на Кеплер, неговият сидеричен период ще нараства. Числителят в горната формула също ще нараства, а знаменателят ще намалява. Следователно синодичният период на тялото ще расте. С приближаване на стойността на сидеричния период на тялото до орбиталния период на Земята, синодичният му период ще се стреми към безкрайност.

За синодичния период на тяло със средно разстояние до Слънцето по-голямо от радиуса на земната орбита, можем да напишем:

1/T' = 1/T_o - 1/T

T' = TT_o / (T - T_o) \qquad (2)

Колкото по-малък е сидеричният период на тялото, толкова по-голям става синодичният му период. С приближаване на сидеричния период на тялото до периода $T_o$ на обикаляне на Земята около Слънцето, синодичният му период се стреми към безкрайност. При отдалечаване на тялото от Слънцето сидеричният му период ще расте. Колкото по-голям става сидеричният период от периода $T_o$ на обикаляне на Земята около Слънцето, толкова синодичният период на тялото $T'$ ще се доближава по стойност до $T_o$ .

Теоретично най-кратък сидеричен период $T_1$ ще има тяло, което обикаля около Слънцето по кръгова орбита с радиус, равен на слънчевия радиус $R_0$ . Съгласно III закон на Кеплер за този случай:

R_0^3 / T_1^2 = r_0^3 / T_0^2

където $r_0$ е радиусът на земната орбита.

T_1 = T_0 (R_0/r_0)^{3/2}

T_1 = 0.0003\ T_0

T_1 \approx 2.8\ \mathrm{h} \approx 2\ \mathrm{h}\ 48\ \mathrm{min}

Както се вижда от формула (1), тъй като $T_1 \ll T_0$ , в този случай синодичният период на тялото почти няма да се отличава от сидеричния му период.

Да пресметнем при какво разстояние от Слънцето синодичният период на тялото ще бъде половин година. Очевидно това не може да се реализира при тяло, чието средно разстояние до Слънцето е по-голямо от земното. За по-близко до Слънцето тяло от формула (1) получаваме:

T_2 = T'T_o / (T_o + T') = T_0/3

Средното разстояние до Слънцето $r_2$ , на което би обикаляло тяло с такъв сидеричен период можем да пресметнем от III закон на Кеплер:

r_2 = r_0 (T_2/T_0)^{2/3}

r_2 \approx 0.48\ r_0

Да пресметнем също на какво разстояние синодичният период на тялото би бил две години. За по-близко до Слънцето тяло от формула (1) получаваме:

T_3 = T'T_o / (T_o + T') = 2T_0/3

r_3 = r_0 (T_3/T_0)^{2/3}

r_3 \approx 0.76\ r_0

За по-далечно от Слънцето тяло от формула (2) получаваме:

T_4 = T'T_o / (T' - T_o) = 2T_0

r_4 = r_0 (T_4/T_0)^{2/3}

r_4 \approx 1.59\ r_0

Графика на синодичния период T' като функция на разстоянието r: две клонове, които се стремят към безкрайност при r = r_o; отбитите точки R_o, 0.48 r_o, 0.76 r_o, r_o и 1.59 r_o, и нивата 0.5 T_o, T_o и 2 T_o.

Справочни данни

Справочни данни:
Гравитационна константа	$\gamma = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3 / kg.s^2}$
Звездно денонощие	23 h 56 min 04 sec
Маса на Земята	$6 \times 10^{24}$ kg
Радиус на Земята	6378 км
Радиус на земната орбита	$150 \times 10^{6}$ км
Радиус на Слънцето	700 000 км
Светимост на Слънцето	$3.8 \times 10^{26}$ W
Видима звездна величина на Слънцето	$-26.7^{\mathrm{m}}$
Средно разстояние от Марс до Слънцето	1.52 а.е.
Разстояние от Марс до Слънцето в перихелий	1.38 а.е.

Оригинал в Архива: NOA3_2008_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2008_11-12solutions.pdf