НОА 2008, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1

• Синодичният период расте монотонно от $T' \approx T_1 \approx 2.8$ h при $r = R_0$ до безкрайност при $r \to r_0$ отвътре, а за външните тела пада от безкрайност при $r \to r_0$ и клони асимптотично към $T_0$ отгоре.

  Характерни стойности: $T_1 = 0.0003\,T_0 \approx 2.8$ h $\approx$ 2 h 48 min при $r = R_0$; $T' = 0.5T_0$ при $r_2 \approx 0.48\,r_0$; $T' = 2T_0$ при $r_3 \approx 0.76\,r_0$ (вътрешно тяло) и при $r_4 \approx 1.59\,r_0$ (външно тяло).

Нека разгледаме случая на тяло, чието средно разстояние до Слънцето е по-малко от радиуса на земната орбита. Ако неговият сидеричен период на обикаляне около Слънцето е $T$, а орбиталният период на Земята е $T_o$, то за синодичния период $T'$ на тялото можем да напишем:

С отдалечаване на тялото от Слънцето, съгласно III закон на Кеплер, неговият сидеричен период ще нараства. Числителят в горната формула също ще нараства, а знаменателят ще намалява. Следователно синодичният период на тялото ще расте. С приближаване на стойността на сидеричния период на тялото до орбиталния период на Земята, синодичният му период ще се стреми към безкрайност.

За синодичния период на тяло със средно разстояние до Слънцето по-голямо от радиуса на земната орбита, можем да напишем:

Колкото по-малък е сидеричният период на тялото, толкова по-голям става синодичният му период. С приближаване на сидеричния период на тялото до периода $T_o$ на обикаляне на Земята около Слънцето, синодичният му период се стреми към безкрайност. При отдалечаване на тялото от Слънцето сидеричният му период ще расте. Колкото по-голям става сидеричният период от периода $T_o$ на обикаляне на Земята около Слънцето, толкова синодичният период на тялото $T'$ ще се доближава по стойност до $T_o$.

Теоретично най-кратък сидеричен период $T_1$ ще има тяло, което обикаля около Слънцето по кръгова орбита с радиус, равен на слънчевия радиус $R_0$. Съгласно III закон на Кеплер за този случай:

където $r_0$ е радиусът на земната орбита.

Както се вижда от формула (1), тъй като $T_1 \ll T_0$, в този случай синодичният период на тялото почти няма да се отличава от сидеричния му период.

Да пресметнем при какво разстояние от Слънцето синодичният период на тялото ще бъде половин година. Очевидно това не може да се реализира при тяло, чието средно разстояние до Слънцето е по-голямо от земното. За по-близко до Слънцето тяло от формула (1) получаваме:

Средното разстояние до Слънцето $r_2$, на което би обикаляло тяло с такъв сидеричен период можем да пресметнем от III закон на Кеплер:

Да пресметнем също на какво разстояние синодичният период на тялото би бил две години. За по-близко до Слънцето тяло от формула (1) получаваме:

За по-далечно от Слънцето тяло от формула (2) получаваме: