Съдържание

НОА 2008, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Интерферометрия на звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

XI Национална олимпиада по астрономия — IV кръг, Теоретичен тур, Старша възраст

Условие

С методите на интерферометрията е измерен ъгловият диаметър на звезда, който се оказва 0”,004. Блясъкът на звездата е $4.7^{\mathrm{m}}$ . Спектроскопичните наблюдения на тази звезда показват, че жълтата линия на натрия (5890 Å) има две компоненти – ярка и слаба, при което дължината на вълната на слабата компонента се променя синусоидално с амплитуда 0,6 Å и период 30 години. Един път за целия период слабата линия на натрия престава да се вижда в продължение на 230 дни. Определете разстоянието до звездата, нейната маса и температурата на повърхноста ѝ. Към кой тип звезди можем да я причислим?

Решение

Нека с $L$ да означим светимостта на звездата, а с $r$ разстоянието до нея. Осветеността, която звездата създава за нас е:

E=L/4\pi r^2

Светимостта на звездата е:

L=4\pi R^2\sigma T^4

където $R$ и $T$ са нейният радиус и температурата ѝ. Оттук получаваме:

E=R^2\sigma T^4/r^2

Понеже видимият ъглов диметър на звездата е $\delta=2R/r$ , то:

E=\delta^2\sigma T^4/4

Знаем слънчевата константа $E_0=1370\ \mathrm{W/m^2}$ и видимата звездна величина на Слънцето $m_0=-26.8^{\mathrm m}$ . Ако $m=4.7^{\mathrm m}$ е дадената ни звездна величина на звездата, то:

E=E_0\cdot2.512^{m_0-m}

Така за температурата получаваме:

T=\sqrt[4]{\frac{4E}{\delta^2\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{4E_0\cdot2.512^{m_0-m}}{\delta^2\sigma}}

T\approx2700\ \text{К}

Ярката компонента на спектралната линия принадлежи на самата звезда, а слабата на неин спътник, имащ много по-малка светимост от нея. Изменението на слабата линия се дължи на орбителното движение на спътника около звездата. Амплитудата на промяната на дължината на вълната съответства на максималната стойност $v$ на лъчевата скорост на спътника. Означаваме тази амплитуда с $\Delta\lambda$ , с $\lambda_0$ – лаборатнорната дължина на вълната, а с $c$ – скоростта на светлината. Съгласно формулата за изменението на дължината на вълната поради ефекта на Доплер при движение на източника със скорост $v$ :

v=\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}c\approx30.5\ \mathrm{km/s}

Тъй като дължината на вълната на слабата спектрална линия се изменя синусоидално, можем да предположим, че спътникът има кръгова орбита около звездата и да приемем, че зрителният лъч от нас към нея лежи приблизително в орбиталната равнина на спътника. Така че можем да считаме $v$ за равна на орбиталната скорост на спътника около звездата. Слабата линия периодично изчезва за време $t=230\ \mathrm d$ . Това става, когато спътникът преминава зад звездата и всъщност изминава нейния диаметър $D$ . Оттук намираме:

D=vt\approx600\times10^6\ \mathrm{km}

Като знаем видимия ъглов диаметър на звездата, намираме разстоянието до нея:

r=\frac D\delta\approx1\ \mathrm{kpc}

От разстоянието и видимата звездна величина на звездата намираме абсолютната ѝ звездна величина:

M=m+5-5\lg r=-5.3^{\mathrm m}

Звездата има неимоверно висока светимост и много ниска температура. Следователно, тя е огромен и хладен червен гигант.

За да намерим масата $M_*$ на звездата, използваме III закон на Кеплер. Заяписваме закона за случая, когато радиусът $a$ на орбитата на спътника се измерва в астрономически единици, неговият орбитален период $P$ в години (по условие $P=30$ години), а масата на звездата – в слънчеви маси:

\frac{a^3}{P^2}=M_*

Радиуса на орбитата намираме от съотношението:

a=\frac{vP}{2\pi}=30\ \mathrm{AU}

Накрая за масата получаваме:

M_*=\frac{a^3}{P^2}\approx30\ \mathrm M_\odot

Оригинал в Архива: NOA4_2008_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2008_STsolutions.pdf