Съдържание

НОА 2008, IV кръг, Старша възраст — Задача 4. Точка на стоене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

XI Национална олимпиада по астрономия — IV кръг, Теоретичен тур, Старша възраст

Условие

Участникът в Международната олимпиада по астрономия и бъдещ астроном Александър Куртенков ви кани да споделите с него удоволствието от едно теоретично изследване. Той е забелязал, че моментът, в който една външна планета е в квадратура, не съвпада точно с момента, в който става преходът на планетата между право и обратно видимо движение. Намерете разликата между тези два близки момента от време като функция на радиуса на планетната орбита около Слънцето. Изведете приблизителна формула само за случая, когато планетата е много отдалечена от Слънцето.

Решение

На фигурата с S е означено положението на Слънцето, с T₁ – положението на Земята и с P – положението на външна планета в квадратура.

Земя и външна планета при квадратура и стоене.

Когато далечна планета се намира в квадратура, нейната скорост $v_P$ е приблизително перпендикулярна на земната орбитална скорост $v_T$ (Земята в положение T₁). Но тогава планетата няма да е в точката на стоене. Ъгловата скорост на видимото ѝ движение по небесната сфера няма да е нула. Тя ще стане нула, когато Земята е в малко по-друго положение (T₂) – такова, че компонентата на земната линейна скорост по направление на движението на планетата да стане равна на орбиталната скорост на планетата. Тогава “напречната” скорост на относително движение на планетата спрямо Земята (по направление перпендикулярно на зрителния лъч за земен наблюдател) ще стане нула.

Използваме приближението, че поради голямата отдалеченост на планетата ъгълът Земя – планета – Слънце е много малък. По същото съображение пренебрегваме движението на планетата по нейната орбита между моментите, когато Земята е в положение T₂ и T₁. Моментът на стоене на планетата може да се случи малко преди или малко след момента, когато тя е в квадратура. За определеност разглеждаме случая, в който моментът на стоене настъпва малко преди квадратурата. Нека Земята, намираща се в точка T₂, е отклонена на ъгъл $\alpha$ по своята орбита спрямо положението си T₁, когато външната планета е в квадратура. Нейната скорост $v_T$ тогава сключва същия ъгъл с линията T₁P. Смятаме, че скоростта на планетата $v_P$ в този момент е приблизително перпендикулярна на линията T₁P. Така можем да напишем:

\sin\alpha\approx\alpha=v_P/v_T

Търсеният от нас интервал от време между моментите, когато Земята е в T₁ и T₂₁, ще бъде:

\Delta t=\frac\alpha{2\pi}T_T=\frac1{2\pi}\frac{v_P}{v_T}T_T

където $T_T$ е орбиталният период на Земята около Слънцето, равен на 1 година. Ако $r_T$ и $r_P$ са радиусите на орбитите на Земята и на планетата, а $T_P$ е орбиталният период на планетата:

v_T=\frac{2\pi r_T}{T_T}

v_P=\frac{2\pi r_P}{T_P}

\Delta t=\frac\alpha{2\pi}T_T=\frac1{2\pi}\frac{r_P}{r_T}\frac{T_T^2}{T_P}

Съгласно третия закон на Кеплер:

\frac{r_P^3}{r_T^3}=\frac{T_P^2}{T_T^2}

T_P=T_T\sqrt{\frac{r_P^3}{r_T^3}}

Следователно:

\Delta t=\frac{T_T}{2\pi}\sqrt{\frac{r_P}{r_T}}

Ако $r_P$ е в астрономически единици, а $t$ е в години:

\Delta t=\frac1{2\pi\sqrt{r_P}}\ \mathrm{yr}

\Delta t\approx\frac{58.44}{\sqrt{r_P}}\ \mathrm d

Оригинал в Архива: NOA4_2008_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2008_STsolutions.pdf