Съдържание

НОА 2009, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ · НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · III кръг · Теоретичен тур, 11 април 2009 г. · Ученици от 11-12 клас · 11 април 2009 г.

Внимание: Бележка към темата

Турът е разделен на теоретичен (11 април 2009) и практически (12 април 2009) — заглавията и датите са отпечатани на съответните страници.

Условие

Прословутите палавници Макс и Мориц са станали космонавти, но след многобройни поразии са изхврълени от командира на кораба в открития космос далеч от планети и звезди. Всеки от тях заедно със скафандъра си тежи 200 кг. Намират се на 20 м един от друг и обикалят по кръгови орбити около общия си център на масите.
Намерете орбиталния им период и техните скорости относно центъра на масите.
Макс и Мориц искат да се приближат един към друг, за да потърсят начин за спасение. В джоба на скафандъра си Мориц държи 200-грамов кристален мозък, отмъкнат от един от бордовите компютри, който също може да им помогне в мисленето. По какъв начин двамата космонавти могат да се сближат? За колко време може да стане това?

Отговори

Решение

Решение:
Орбиталния период намираме от III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = \gamma\,\frac{2m}{4\pi^2}

Където $r$ е разстоянието между двамата космонавти, $m$ е масата на всеки от тях, а $\gamma$ е гравитационната константа.

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{2\gamma m}} \approx 3.5\times10^6\ \mathrm{sec} \approx 40\ \text{денонощия}

Скоростта на всеки от тях относно центъра на масите е:

v = \frac{2\pi r}{T} \approx 0.9\ \mathrm{mm/sec}

Единственият начин космонавтите да се сближат, е да използват закона за запазване на импулса. Един от тях трябва да си придаде скорост, равна по големина и насочена обратно на относителната си скорост спрямо другия, т.е. $2v$ . Така движението им един относно друг ще спре и те ще започнат да падат един към друг под действие на гравитацията си. За да си придаде неоходимата скорост единият космонавт трябва да жертва нещо от себе си и даго хвърли по посока на движението си. Така че, ще им се наложи да жертват кристалния компютърен мозък. Да означим неговата маса с $m_1$ . Скоростта $u$ , с която той трябва да бъде хвърлен, се определя от равенството:

m\cdot 2v = m_1 u

u = 2v\,\frac{m}{m_1} = 18\ \mathrm{mm/sec}

За да намерим времето на сближаване на космонавтите, приемаме, че единият от тях се движи по безкрайно сплесната елипса с фокус в другия космонавт и голяма полуос половината от разстоянието между тях. От III закон на Кеплер намираме орбиталнния период и времето за падане е половината от този период:

t = \tfrac{1}{2}T' = \tfrac{1}{2}\,2\pi\sqrt{\frac{(\frac{r}{2})^3}{2\gamma m}} \approx 1.22\times10^6\ \mathrm{sec} \approx 14\ \text{денонощия}

Справочни данни

Справочни данни:

Радиус на Слънцето 700 000 км; Гравитационна константа $\gamma = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{м^3/кг.с^2}$

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия, радиус на орбитата – 9000 км

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия, радиус на орбитата – 23000 км

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Радиус на Марс – 3397 км

Справочни данни (към решенията)

Справочни данни:

Радиус на Земята 6370 км; Радиус на Слънцето 700 000 км;

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Оригинал в Архива: NOA3_2009_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2009_11-12solutions.pdf