НОА 2010, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1

• • $h_L = 6h = 6 \times 3 = 18\ \text{m}$

  Тъй като $h = v_0^2/g$ и $g_L/g = 1/6$, следва $h_L/h = 6$.

• • Да – при отскока хоризонтът се понижава с $\alpha \approx 15.6'$, което спрямо видимия ъглов диаметър на Земята ($\approx 114'$) открива само малка част от Земята – районите около южния земен полюс; въпреки това части от Австралия могат да се видят, а при подходяща взаимна ориентация на земната ос и лунната орбита – по-голяма част или почти целия континент.

  Най-добри условия: северният земен полюс е наклонен към Луната, а лунната орбита е наклонена в противоположна посока.

Решение:

Да означим началната скорост, с която кенгуруто отскача от повърхността на Земята или на Луната с $v_0$ , земното ускорение с $g$ , а височината, на която се издига, с $h$ . В сила са следните съотношения:

където $t$ е времето, за което се достига максималната височина. Оттук получаваме:

За височината, на която кенгуруто може да скочи, ако се намира на Луната, получаваме аналогично:

където $g_L$ е ускорението на силата на тежестта на Луната. Тъй като $g_L / g = 1 / 6$, то намираме, че $h_L / h = 6$, или на Луната кенгуруто ще може да скочи на $6 \times 3 = 18$ метра височина.

Когато кенгуруто се намира в най-високата точка то своя скок, то физическия лунен хоризонт за него се понижава с ъгъл $\alpha$, за който можем да напишем:

където $R_L$ е радиусът на Луната. Оттук намираме:

(дъгови минути)

Видимият от Луната ъглов диаметър на Земята ще бъде:

Следователно при отскока на кенгуруто над хоризонта за него ще се появи доста малка част от Земята. Тъй като кенгуруто се намира близо до южния лунен полюс, то от Земята ще се открият райони около южния земен полюс. Все пак, части от Австралия могат да се видят. Поради наклона на земната ос и наклона на лунната орбита в някои случаи могат да се създадат условия за видимост на по-голяма част или даже на почти целия континент Австралия. Това може да стане, когато взаимната ориентация на оста на Земята и на лунната орбита е такава, че северният земен полюс е наклонен към Луната, а лунната орбита е наклонена в портивоположна посока.

Критерии за оценяване (10т.):

За правилна физическа обосновка и пресмятания по първото подусловие – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За пресмятане на понижението на хоризонта при отскока – 2 т.

За сравнение с видимите ъглови размери на Земята и разсъждения относно видимостта на Австралия в общия случай – 2 т.

За съображения, свързани с най-добрите условия за видимост на Австралия – 2 т.