НОА 2010, IV кръг, Младша възраст, теория и практическа задача — Задача 4. Спътник

• • $h_{\text{геост.}} = 35\,786\ \text{km}$

  При $h < 35\,786$ km орбиталният период е по-малък от звездното денонощие и спътникът изгрява от запад; при $h > 35\,786$ km – от изток. При $h = 35\,786$ km спътникът е геостационарен и стои неподвижно на небето.

• • Винаги изгрява от изток и залязва на запад, независимо от височината, защото относителната ъглова скорост е сума от ъгловите скорости на спътника и Земята и следователно винаги е по-голяма от тази на Земята.

Решение:

Спътник с право движение би бил наблюдаван да изгрява от запад и да залязва на изток, ако неговата ъглова скорост е по-голяма от ъгловата скорост на точка от земната повърхност. Това е изпълнено, когато неговият орбитален период е по-малък от периода на околоосно въртене на Земята. Орбиталният период на спътника в зависимост от височината може да се получи чрез третия закон на Кеплер:

където R е радиусът на Земята, h – височината на спътника над екватора, T – неговият период, M – масата на Земята, a $\gamma$ гравитационната константа.

Когато спътникът се намира на височина, при която неговият орбитален период е равен на периода на околоосно въртене на Земята, ъгловите скорости на двете тела са еднакви и той винаги стои в една и съща точка от небесната сфера. Такъв спътник се нарича геостационарен и неговата височина е 35 786 km.

При още по-големи височини спътникът има орбитален период по-голям от едно звездно денонощие (времето, за което Земята прави една пълна обиколка около оста си) и ние го наблюдаваме да изгрява от изток и да залязва на запад.

Когато спътникът се движи обратно на въртенето на Земята, т.е. от изток на запад, той винаги изгрява от изток и залязва на запад, защото относителната ъглова скорост на двете тела е сума от ъгловите скорости на спътника и Земята, следователно винаги по-голяма от тази на Земята.