НОА 2011, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Видимост на Венера

• а Долно съединение, горно съединение, източна елонгация и западна елонгация.

  Схемата е дадена в решението.

• б $\theta = \arcsin\left(\frac{r_V}{r_E}\right) = 46^\circ$

• в Видим размер $\approx 24''$; фаза 0,5

  Разстоянието до Венера в максимална елонгация е $AD = \sqrt{r_E^2 - r_V^2} = 104$ млн. км.

• г $\Delta T_1 = 143$ дни (от източна до западна елонгация) и $\Delta T_2 = 443$ дни (от западна до източна елонгация)

  Централният ъгъл между двете елонгации е $\varphi = 88^\circ$.

Решение:

а)

На фигурата са показани положенията на една вътрешна планета спрямо Земята (точка A) в четирите основни конфигурации. Те са следните:

• т. B – долно съединение (планетата се намира точно между Земята и Слънцето и не се вижда)
• т. C – горно съединение (планетата се намира точно в противоположната точка от своята орбита спрямо Земята)
• т. D - източна елонгация (планетата е максимално отдалечена от Слънцето в посока изток и има най–добра вечерна видимост, след залеза на Слънцето)
• т. E – западна елонгация (планетата е максимално отдалечена от Слънцето в посока запад и има най–добра сутрешна видимост, преди изгрева на Слънцето).

б)

Нека с $r_V = 0,72$ AU и $r_E = 1$ AU да означим радиусите на орбитите съответно на Венера и Земята.

На схемата: $SE = SD = r_V =$ 108 млн. км.; $SA = r_E =$ 150 млн. км.

В максимална елонгация (независимо дали източна или западна) правата, на която лежат Венера и Земята, е допирателна към венерианската орбита, следователно ъгъл $SDA =$ 90°.

Търсеното отстояние между Венера и Слънцето означаваме с θ. То съответства на ъгъл $DAS$.

За триъгълника $DAS$ можем да запишем следното равенство:

Откъдето намираме, че: θ = 46°.

в) Разстоянието до Венера в максимална елонгация съответства на отсечките AD и AE на чертежа. Съгласно Питагоровата теорема можем да запишем:

Оттук следва, че:

Следователно, ако $D_V$ е диаметърът на Венера, то нейният видим размер, по време на максимална елонгация е:

Както вече споменахме, в максимална елонгация правата, която свързва Венера и Земята, е перпендикулярна на отсечката Венера – Слънце. Следователно лъчът на зрение за земния наблюдател лежи точно в равнината на венерианския терминатор (линията, която разделя осветената от Слънцето част на Венера от неосветената). Това означава, че този терминатор трябва да минава точно през центъра на видимия от Земята диск на Венера. От тук следва, че от нея би трябвало да се вижда точно половината осветена част или фазата й е 0,5.

г) Означаваме с $T_E =$ 225 дни и $T_V = 365,256$ дни съответно орбиталните периоди на Земята и Венера. Техните ъглови скорости относно Слънцето са:

Нека да разглеждаме задачата в отправна система, в която Земята е неподвижна. Следователно ъгловата скорост на Венера по нейната орбита в тази отправна система е:

Съобразявайки посоката, в която Венера се движи по своята орбита, можем да заключим, че в интервала от време между максимална източна и максимална западна елонгация тя трябва да измине по своята орбита централен ъгъл φ, който е равен на ъгъл $DSE$ на чертежа.

Понеже триъгълникът $DAS$ е правоъгълен, а двете максимални елонгации са симетрично разположени спрямо долното съединение, то можем да запишем, че:

Оттук намираме, че: φ = 88°.

Следователно интервалът от време, който изминава от максимална източна елонгация на Венера до следващата максимална западна елонгация е:

От максимална западна до максимална източна елонгация Венера трябва да измине по своята орбита дъга, която е допълнителна на дъгата между източна и западна елонгация. Следователно тя трябва да се завърти на допълнителния до 360° на φ ъгъл. От тук следва, че този ъгъл ще бъде изминат за време:

Последното подусловие може да бъде решено и чрез пресмятане на стойността на синодичния период на Венера, без да се преминава в отправна система, в която Земята е неподвижна. В този случай трябва да се каже, че интервалите от време между двете елонгации са такава част от синодичния период, каквато съответните дъги отсичат от пълната окръжност (пълната орбита на Венера). При този подход също трябва да се пресметне централният ъгъл φ и приемането, че той е прав, би довело до грешни изводи.

Критерии за оценяване:

а) За изброяване на конфигурациите – 1 т.
За начертаване на правилна схема – 1 т.
б) За правилно геометрично съобразяване за максималното отстояние – 1 т.
За правилно математическо изразяване и верен числен отговор – 1 т.
в) За правилно пресмятане на разстоянието до Венера в максимална елонгация – 1 т.
За правилно изразяване на ъгловия й размер и верен числен отговор – 1 т.
За правилно съобразяване на фазата й – 1 т.
г) За правилно изразяване на ъгловата скорост на Венера – 1,5 т.
За правилно съобразяване на ъгловите мерки на дъгите, които Венера изминава между двете максимални елонгации – 1,5 т.
За правилно изразяване на търсените интервали от време и верни числени резултати – 1 т.
Алтернативен начин:
За правилно пресмятане на синодичния период на Венера и разбиране на смисъла му – 1 т.
За правилно разсъждение относно частта от синодичния период между двете елонгации – 2 т.
За вярно изразяване на интервалите от време и верни числени резултати – 1 т.

(Общо за Задача 1. – 11 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.